DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

· Descomposición en fracciones simples de una función racional

Al igual como una fracción racional es un cociente de números enteros (positivos ó negativos) , siendo no nulo el denominador, una fracción polinómica (ó función racional) es un cociente de polinomios.

Ejemplos:

Para simplificar una fracción racional actuamos como sigue:

Para simplificar una función racional, el procedimiento es similar:

a).

b).

c).

Ejemplos para la suma de funciones racionales.

Ejemplos para el producto.

Ejemplo para la división.

· Descomposición en fracciones simples de una función racional

Distinguiremos 4 casos.

1. Raíces reales simples (Factores lineales distintos).

Sea una función racional (cociente de polinomios) de la forma

Si Q(x)=0 sólo admite raíces reales simples, podemos entonces descomponer

siendo x₁,x₂,...,x_n números reales distintos y a_n coeficiente que acompaña a la variable elevada a la mayor potencia en Q(x).

Ejemplo:

Sumamos las fracciones e igualamos los numeradores:

Como es una identidad, se ha de cumplir para todo valor de x:

Ejemplo:

i). Hallamos las raíces del polinomio del denominador:

x =2, x = 3

ii). Factorizamos el denominador

iii). Descomponemos:

operando:

Para hallar A y B tenemos dos opciones:

· resolvemos el siguiente sistema

1=(A+B) x - 3 A-2 B

Con lo cual:

· O bien Igualamos numeradores y sustituimos x, en los dos miembros, por los valores 2 y 3 (los ceros del denominador)

iv). Comprobamos el resultado.

2. Raíces reales múltiples. (Factores lineales repetidos).

Consideramos de nuevo una función racional de la forma

Si Q(x)=0 admite raíces reales múltiples, en su descomposición factorial aparecerán factores de la forma a_n(x-r)ⁿ , con lo cuál tendremos:

siendo F(x)=R(x)/a_n

Supongamos que el grado de F(x) es m, con m<n (grado de Q(x)).

Si desarrollamos F(x) por la fórmula de Taylor en el punto r, queda:

Dividiendo por (x-r)ⁿ

Ejemplo:

i). Las raíces del denominador son x = 0, -1, -1

ii).

iii).

Sustituimos:

3. Raíces complejas simples.

Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:

grado de R(x) < grado de Q(x) = n = 2p

Si Q(x)=0 admite raíces imaginarias (simples), tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , la otra será a-bj (Se denominan raíces complejas conjugadas), y los factores de la descomposición factorial serán de la forma:

Así pues, en la descomposición en fracciones simples, sustituiremos las fracciones

por

Ejemplo 3. Factores cuadráticos distintos.

i). Las raíces del denominador son: x = 0, 1 y dos raíces complejas

ii).

iii).

Procediendo como antes:

4. Raíces complejas múltiples.

Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:

grado de R(x) < grado de Q(x) = n = 2p

Si Q(x)=0 admite raíces complejas múltiples, tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , con multiplicidad p, la otra será a-bj también con multiplicidad p. Es decir, como las raíces imaginarias aparecen en parejas conjugadas, en la descomposición factorial del polinomio habrá un término de la forma (x²+ax+b)ⁿ siendo n el orden de multiplicidad. Por cada factor de esta clase pondremos n sumandos de la forma