GEOMETRÍA DE LA RECTA EN EL PLANO

 

·  Ecuación vectorial

· Ecuaciones paramétricas

· Ecuación continua

· Ecuación implícita

·Ecuación explícita

· Posiciones relativas de dos rectas

 

GEOMETRÍA:

Disciplina matemática que se ocupa del estudio de las propiedades invariantes de un espacio, cuyos elementos se llaman puntos, dotado de unos sistemas de referencia llamados coordenadas y de una serie de transformaciones de coordenadas. Tal definición es una simplificación de la de Veblen y Whitehead, enunciada en 1932 y que, por el momento sigue siendo la más aceptada.  

La palabra “geometría” procede de dos términos griegos: geos, que signifca “tierra”, y metron, que significa “medida”. Los egipcios, sometidos a las periódicas crecidas del Nilo, precisaban algunos conocimientos geométricos elementales para trazar las lindes de sus campos, borradas por el limo a cada crecida. Así se sentaron las bases del trazado de paralelas y perpendiculares y se dieron los primeros pasos en el cálculo  de áreas. También las necesidades del comercio obligaron a averiguar los volúmenes de los cuerpos gemétricos más sencillos. Pero los egipcios, pueblo práctico y poco dado a abstracciones, no pasaron de un honesto “oficio” en la materia. La geometría como ciencia nació con los griegos, a quienes sobraba tiempo y esclavos para poderse dedicar a pensar; por otra parte, sus filósofos (Pitágoras, Platón) colocaron siempre a la geometría en un lugar de privilegio. El primer geómetra pasa por ser Tales de Mileto, a quien se le atribuye el célebre teorema que lleva su nombre. Después, Pitágoras elevó el número a la categoría de dios; los pitagóricos, al descubrir la inconmensurabilidad de , crearon los números reales e introdujeron la continuidad en la geometría.

Los seguidores de Platón eran geómetras apasionados.

<<No entre nadie que no sepa geometría>>

rezaba una máxima esculpida en el dintel de la Academia. De ellos heredaron los griegos posteriores el gusto por la pureza expositiva y la curiosa prohibición, que por lo general violaban, de no utilizar más que la regla y el compás.

   

Euclides en sus Elementos introduce el método axiomático, de tan fructíferos resultados en la metodología científica actual. Es la geometría del tacto.

 

Muchos siglos después, Descartes, introdujo las coordenadas e inició la geometría analítica. A partir de Descartes, los problemas geométricos pueden abordarse por dos vías distintas: la clásica, razonando directamente sobre los dibujos de las figuras, y la nueva, la analítica, que permite transcribir el lenguaje geométrico al lenguaje del análisis matemático, al lenguaje de los números.  

Más tarde, Grassmann (1809-1877) introduce los vectores, dando el último toque perfeccionista a la obra cartesiana.

 La era napoleónica contempla el nacimiento de la geometría proyectiva, creada por Poncelet (1788-1867). Es una geometría nueva, en la cuál no se toma ni una sóla medida, no interesan  la distancia, el área, los ángulos, … sólo las proyecciones de unas figura sobre otras. Es la geometría del ojo.

 

En el lapso de muy pocos años, Gauss, Bolyai, Lovachevski y Riemann dan el paso definitivo y rompen con Euclides: por un punto exterior a una recta, ya no pasa una sola paralela como decía el insigne griego en su 5º postulado. Según los tres primeros, pasan dos paralelas; según Riemann, ninguna. La creación de las geometrías no-euclídeas, significó el nacimiento de la geometría moderna y abrió el camino de las audacias mentales, que, en abierta contradicción con el ingenuo “sentido común”, llevarían a la ciencia a las puertas del siglo XX.Las geometrías no-euclídeas son geometrías de la imaginación pura. Pertenecen de lleno al camino de la abstracción.

 

Otro francés, Monge (1746-1818) es quien inagura la geometría diferencial, aplicando sistemáticamente derivadas e integrales al estudio de curvas y superficies. Los trabajos de Brill (1842-1935) inician la geometría algebraica. Es otra geometría nueva, como nueva es la aparición de  la topología.

 

 

· Ecuación vectorial de la recta en el plano afín Â2

Sea un punto fijo E(x1, x2)  del plano afín, y w(w1, w2)  un vector del mismo aplicado al punto E.

 El conjunto de puntos P(x,y) tales que EP = lw(" l Î Â ) se denomina recta real   r   en el plano afín.

 

  El vector w se llama dirección de la recta r. Se puede escribir:

  (1)

  Igualdad que se llama ecuación vectorial de la recta r que pasa por un punto fijo E y tiene una dirección dada w.

· Ecuaciones paramétricas

Expresando en la fórmula anterior (1) los vectores por sus componentes e igualando las correspondientes a ambos miembros, resulta:

  sistema cuyas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta r.


Casos particulares

 

a). Eje de abcisas.

Es la recta determinada por el punto O (0,0) y el vector  i (1,0). Sus ecuaciones paramétricas son:

b). Eje de ordenadas.

Es la recta determinada por el punto O (0,0) y el vector  j (0,1). Sus ecuaciones paramétricas son:

 

· Ecuación continua de la recta r

Despejando l en las ecuaciones paramétricas e igualando queda:  

 

  Así pues, si tenemos dos  puntos E y F dados por (x1,x2), (y1,y2), la ecuación de la recta que pasa por ellos viene dada por:

 Ecuación Continua    

Ejemplo:

Dados los puntos (1,2) (3,5) halla la recta que pasa por ellos en forma continua

  Caso particular: Ecuación canónica.

Si los puntos (x1,y1), (x2,y2) están en los ejes E (a,0)  F(0,b)

O bien:  

· Ecuación implícita o general de la recta r

Operando en la ecuación continua, (multiplicamos en cruz) queda:

 Ecuación Implícita o General

Ejemplo:

Dados los puntos (1,2) (3,5) halla la recta que pasa por ellos en forma implícita

 

· Ecuación explícita de la recta r

Despejando y en la ecuación implícita, , queda:

O bien:

 La derivada

y ‘ = m  

se conoce como pendiente o coeficiente angular, y es igual a la tangente del ángulo que forma el eje x ‘ x  y la recta.

  En cuanto al coeficiente n se le llama ordenada en el origen.  

 

· Posiciones relativas de dos rectas del plano afín

Vamos a considerar dos rectas, r y s, en forma implícita o general:

La intersección de estas dos rectas se representa por r Çs  y viene dada por el conjunto de soluciones comunes a las dos ecuaciones, con lo cual tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

  En la discusión de este  sistema pueden presentarse los siguientes casos:

·        Rectas coincidentes:

  Si se cumple la igualdad entre los cocientes de los coeficientes es la misma

o bien:

 

En este caso el sistema es compatible e indeterminado.

·        Rectas secantes (que se cortan):

Si se cumple:

o bien:

 

Entonces a intersección se reduce a un punto, dado por la única solución del sistema. El sistema es compatible y determinado.

  Un caso particular de rectas secantes, son aquellas que se cortan formando un ángulo de 90º (perpendiculares)

  Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes son una inversa negativa de la otra.

  ·        Rectas paralelas:

  Si se cumple:

o bien:

Entonces a intersección es el conjunto vacío. El sistema es incompatible.

  Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.

 

Ejemplo:

Estudia la posición relativa de:

Como

 

las rectas se cortan en un punto. Para hallarlo, procedemos a la resolución del sistema.

  Si multiplicamos la segunda ecuación por (-2) quedará un sistema equivalente al primero, es decir, con la misma solución:

 

Sumamos ahora las dos ecuaciones:  

 

Sustituyendo este valor en la primera ecuación (por ejemplo), queda

 

Así pues, el punto (-4,1) es la intersección de dichas rectas.

   

Ejemplo:

Halla tres rectas paralelas a 2x+y+8=0

Si expresamos la recta en forma explícita y=-2x-8, vemos que su pendiente m=-2, luego ejemplos de rectas paralelas a la dada podrían ser  

y=-2x+5,    4x+2y-7=0,   2x+y-1=0.

   

Ejemplo:

Halla una recta paralela a 2x+y+8=0 que pase por (1,3)

Sabemos que una recta paralela a la dada es de  la forma

y=-2x+n

Si imponemos la condición de que pase por un punto, sustituimos el valor de la ordenada y abcisa y hallamos n.

3=-2+n® n=5, y la recta es y=-2x+5 

   

Ejemplo de aplicación posterior:

 Clasifica la siguiente ecuación diferencial de primer orden.

 

Se trata de una ecuación diferencial reducible a homogénea.

Estudiamos la posición relativa de las dos rectas:

que como ya hemos visto se cortan en el punto (x0,y0) = (-4,1)  

Mediante el cambio de variable:

 

se transforma en una ecuación diferencial homogénea.