GEOMETRÍA DE LA RECTA EN EL PLANO
· Posiciones relativas de dos rectas
GEOMETRÍA: Disciplina
matemática que se ocupa del estudio de las propiedades invariantes de
un espacio, cuyos elementos se llaman puntos, dotado de unos sistemas de
referencia llamados coordenadas y de una serie de transformaciones de
coordenadas. Tal definición es una simplificación de la de Veblen y
Whitehead, enunciada en 1932 y que, por el momento sigue siendo la más
aceptada. La palabra “geometría” procede de dos términos griegos: geos, que signifca “tierra”, y metron, que significa “medida”. Los egipcios, sometidos a las periódicas crecidas del Nilo, precisaban algunos conocimientos geométricos elementales para trazar las lindes de sus campos, borradas por el limo a cada crecida. Así se sentaron las bases del trazado de paralelas y perpendiculares y se dieron los primeros pasos en el cálculo de áreas. También las necesidades del comercio obligaron a averiguar los volúmenes de los cuerpos gemétricos más sencillos. Pero los egipcios, pueblo práctico y poco dado a abstracciones, no pasaron de un honesto “oficio” en la materia. La geometría como ciencia nació con los griegos, a quienes sobraba tiempo y esclavos para poderse dedicar a pensar; por otra parte, sus filósofos (Pitágoras, Platón) colocaron siempre a la geometría en un lugar de privilegio. El primer geómetra pasa por ser Tales de Mileto, a quien se le atribuye el célebre teorema que lleva su nombre. Después, Pitágoras elevó el número a la categoría de dios; los pitagóricos, al descubrir la inconmensurabilidad de , crearon los números reales e introdujeron la continuidad en la geometría. Los seguidores de Platón eran geómetras
apasionados. <<No
entre nadie que no sepa geometría>> rezaba
una máxima esculpida en el dintel de la Academia. De ellos heredaron
los griegos posteriores el gusto por la pureza expositiva y la curiosa
prohibición, que por lo general violaban, de no utilizar más que la
regla y el compás. Euclides en sus Elementos
introduce el método axiomático, de tan fructíferos resultados en la
metodología científica actual. Es la geometría del tacto. Muchos siglos después,
Descartes, introdujo las
coordenadas e inició la geometría analítica. A partir de Descartes,
los problemas geométricos pueden abordarse por dos vías distintas:
la clásica, razonando directamente sobre los dibujos de las figuras,
y la nueva, la analítica, que permite transcribir el lenguaje geométrico
al lenguaje del análisis matemático, al lenguaje de los números. Más tarde, Grassmann
(1809-1877) introduce los vectores, dando el último toque
perfeccionista a la obra cartesiana. La era napoleónica contempla el nacimiento de la geometría proyectiva, creada por Poncelet (1788-1867). Es una geometría nueva, en la cuál no se toma ni una sóla medida, no interesan la distancia, el área, los ángulos, … sólo las proyecciones de unas figura sobre otras. Es la geometría del ojo.
En el lapso de muy pocos años, Gauss, Bolyai, Lovachevski y Riemann dan el paso definitivo y rompen con Euclides: por un punto exterior a una recta, ya no pasa una sola paralela como decía el insigne griego en su 5º postulado. Según los tres primeros, pasan dos paralelas; según Riemann, ninguna. La creación de las geometrías no-euclídeas, significó el nacimiento de la geometría moderna y abrió el camino de las audacias mentales, que, en abierta contradicción con el ingenuo “sentido común”, llevarían a la ciencia a las puertas del siglo XX.Las geometrías no-euclídeas son geometrías de la imaginación pura. Pertenecen de lleno al camino de la abstracción.
Otro francés, Monge (1746-1818) es quien inagura la geometría diferencial, aplicando sistemáticamente derivadas e integrales al estudio de curvas y superficies. Los trabajos de Brill (1842-1935) inician la geometría algebraica. Es otra geometría nueva, como nueva es la aparición de la topología. |
· Ecuación vectorial de la recta en el plano afín Â2
Sea un punto fijo E(x1, x2)
del plano afín, y
w(w1, w2)
un vector del mismo aplicado al
punto E.
El
conjunto de puntos P(x,y) tales que EP =
lw("
l
Î
Â
) se denomina recta real r en el plano afín.
Expresando en la fórmula anterior (1) los vectores
por sus componentes e igualando las correspondientes a ambos miembros, resulta:
Casos
particulares
a).
Eje de abcisas.
Es la recta determinada por el punto O (0,0) y el vector i (1,0). Sus ecuaciones paramétricas son: |
b).
Eje de ordenadas.
Es la recta determinada por el punto O (0,0) y el vector j (0,1). Sus ecuaciones paramétricas son: |
· Ecuación continua de la recta r
Despejando l
en
las ecuaciones paramétricas e igualando queda:
Ecuación Continua
Ejemplo:
Dados
los puntos (1,2) (3,5) halla la recta que pasa por ellos en forma continua
Si
los puntos (x1,y1),
(x2,y2)
están en los ejes E (a,0) F(0,b)
O
bien:
· Ecuación implícita o general de la recta r
Operando en la ecuación continua, (multiplicamos en cruz) queda:
Ecuación Implícita o General
Ejemplo:
Dados
los puntos (1,2) (3,5) halla la recta que pasa por ellos en forma implícita
· Ecuación explícita de la recta r
Despejando y en la ecuación implícita, , queda:
O bien:
y ‘ = m
se
conoce como pendiente o coeficiente angular, y es igual a la tangente del ángulo
que forma el eje x ‘ x y la
recta.
· Posiciones relativas de dos rectas del plano afín
Vamos a considerar dos rectas, r y s, en forma implícita o general:
La intersección de estas dos rectas se representa
por r Çs
y viene dada por el conjunto de
soluciones comunes a las dos ecuaciones, con lo cual tenemos el siguiente
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
·
Rectas coincidentes:
o
bien:
En
este caso el sistema es compatible e indeterminado.
·
Rectas secantes (que se cortan):
Si se cumple:
o
bien:
Entonces a intersección se reduce a un punto, dado
por la única solución del sistema. El sistema es compatible y determinado.
o bien:
Entonces a intersección es el conjunto vacío. El
sistema es incompatible.
Ejemplo:
Estudia
la posición relativa de:
Como
las
rectas se cortan en un punto. Para hallarlo, procedemos a la resolución del
sistema.
Sumamos
ahora las dos ecuaciones:
Sustituyendo este valor en la primera ecuación (por ejemplo), queda
Así
pues, el punto (-4,1) es la intersección de dichas rectas.
Ejemplo:
Halla
tres rectas paralelas a 2x+y+8=0
Si
expresamos la recta en forma explícita y=-2x-8, vemos que su pendiente
m=-2, luego ejemplos de rectas paralelas a la dada
podrían ser
y=-2x+5,
4x+2y-7=0, 2x+y-1=0.
Ejemplo:
Halla
una recta paralela a 2x+y+8=0
que pase por (1,3)
Sabemos
que una recta paralela a la dada es de la
forma
y=-2x+n
Si
imponemos la condición de que pase por un punto, sustituimos el valor de la
ordenada y abcisa y hallamos n.
3=-2+n®
n=5, y la recta es
y=-2x+5
Ejemplo de
aplicación posterior:
Se trata de una ecuación diferencial reducible a
homogénea.
Estudiamos la posición relativa de las dos rectas:
que
como ya hemos visto se cortan en el punto (x0,y0)
=
(-4,1)
Mediante el cambio de variable:
se transforma en una ecuación diferencial homogénea.