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· Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

· Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

· Ecuación de la recta normal a una curva en un punto

 

 

 

· Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

 

    Si       Q  P   Þ   la recta secante PQ ® recta tangente en P  Þ   j ® a   Þ   tg j =  ® tg a   Þ 

 

         Por si el alumno no llega a seguir claramente la línea de razonamiento propuesta de forma simbólica en el proceso anterior, intentaremos explicarla “con palabras”:

 

         A medida que el incremento de x va decreciendo, el punto Q irá desplazándose hacia el punto P hasta llegar prácticamente a superponérsele cuando , de manera que la recta secante que pasa por P y por Q tenderá a “convertirse” en recta tangente a la curva en P. Consecuentemente, el ángulo φ que formaba dicha recta secante con el sentido positivo del eje OX tenderá a “convertirse” en el ángulo α que forma la recta tangente a la curva en P con dicho sentido positivo del eje X. Por tanto, evidentemente, tg j ® tg a , y así, finalmente, la derivada , que es el , será igual a la tg α , que, como sabemos, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.

 

Resumiendo, pues,

 

La derivada  de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva  en el punto P. Existe la recta tangente si, y sólo si, existe la derivada.

 

 Se dice que “la curva pasa por P con pendiente ”.

 

 

·  Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

 

         Recordando la ecuación “punto-pendiente” de una recta en el plano cartesiano, la ecuación de la recta tangente a la curva  en el punto P será:

 

 

                  o bien          

 

·  Ecuación de la recta normal a una curva en un punto

         Como la recta normal a una curva en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto, su pendiente será la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente, y, por tanto,

                                           o bien        

 

         Como de momento “sólo sabemos” (por haberlo hallado antes) que la deri­vada de la función  en el punto  vale 6 , y en el punto  vale –4 , sólo podremos poner como ejemplo las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en uno de esos dos puntos. En el punto , hallando previamente la imagen , tendremos:

 

         Tangente   

 

         Normal   

 

Consideramos que es importante resaltar la “equivalencia” entre el hecho de que una función  sea derivable en un punto  y el hecho de que la curva  tenga recta tangente en el punto  P.