%% Modelado de un elemento calefactor de líquido de primer orden
% © 2021, Antonio Sala Piqueras. Universitat Politècnica de València. Todos los derechos reservados.
% Presentación en vídeo: http://personales.upv.es/asala/YT/V/term1e.html
% Este código funcionó correctamente con Matlab R2020b
% Objetivo: modelar un tanque (volumen constante) por el que circula agua que es calentada por una resistencia calefactora.
% Tabla de Contenidos
% Modelo de primeros principios
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%% Modelo de primeros principios
% Modelo de un tanque con una resistencia (proporcionando potencia calorífica Q, supuesta conocida, variable de entrada) que calienta el líquido (luego sustituiremos numéricamente los valores para el agua) que circula por dicho tanque (el agitador hace que la temperatura se iguale "rápidamente" en todo el volumen):
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% Entradas:

syms F real %caudal de entrada
syms Tin real %temp. entrada
syms Q real %potencia calorífica de la resistencia

% Parámetros constantes:

syms V real%volumen tanque
syms rho real %densidad
syms kappa real %fugas hacia exterior 

% Notas respecto a \kappa: a) suponemos pto. Func. Text = 0, para no introducir dicha variable en el modelo; b) suponemos, por simplicidad que kappa no varía con el caudal F, que podría ser plausible (a más caudal, más transmisión por convección).

syms Ce real %calor específico másico

% Variable de estado:

syms T  real %temperatura del líquido (dentro, igual a la de salida)
syms dTdt real % la derivada temporal de la vble estado

% Se trata de un modelo muy simple, porque exceptuando fases  de "llenado" o "vaciado", si el líquido es incompresible y el tanque rígido, el balance de masas es trivial (entra lo mismo que sale, el caudal es el mismo a la izquierda que a la derecha, el volumen almacenado es constante, no hay trabajo mecánico a considerar, etc.).
% Por tanto, sólamente necesitamos hacer balance de energía para tener el modelo:
% " cambio de energía en el volumen de control
%  = calor introducido o trabajo (PdV) del exterior sobre volumen de control
% + energía total de la masa entrante
% - energía total de la masa saliente"
% En nuestro caso la energía del agua líquida a una cierta temperatura será, grosso modo, E=MC_eT --en unidades incrementales desde una temperatura de referencia donde esté en estado líquido--, y las variaciones podrán ser \frac{dE}{dt}=\frac{dM}{dt}C_eT+MC_e\frac{dT}{dt}, esto es, por transferencia de masa o por calentamiento/enfriamiento.
% Dentro del tanque ( \equiv volumen de control) tenemos  \frac{dM}{dt}=0, por lo que sólo nos queda el calentamiento: \frac{dE}{dt}=MC_e\frac{dT}{dt}. Volumen constante implica que no hay términos de trabajo mecánico.
% El balance es, haciendo derivadas temporales (tasas de cambio, potencias):
% " tasa cambio de energía en el volumen de control      \left(\frac{dE}{dt}=MC_e\frac{dT}{dt}\right)
%  = potencia calorífica del exterior al volumen de control  \left(Q-\kappa T\right)
% + energía total de la masa entrante por unidad de tiempo   \left(+\frac{dM_{in}}{dt}C_eT_{in}=+F\rho C_eT_{in}\right)
% - energía total de la masa saliente por unidad de tiempo \left(-\frac{dM_{out}}{dt}C_eT_{out}=-F\rho C_eT\right)"
% esto es:
% \underbrace{V\rho} C_e \frac{dT}{dt} = \underline{F\rho} C_e T_{in} - \underline{F\rho} C_e T - \kappa T + Q
% Nota: V\rho=Masa, F\rho=caudal másico \dot m; el término \dot m C_e T tiene dimensiones de potencia (flujo de entalpía), en el modelo está el entrante \dot m C_e T_{in} y el saliente \dot m C_e T.
% Por simplicidad, la tramsmisión de calor al exterior lo hemos modelado con una constante por  T, pero es posible que haya coficientes de convección que dependan del caudal F ( \kappa= \kappa_0+\kappa_1F).
% Es un modelo con una única ecuación.
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% Lo introducimos en la Symbolic toolbox:

Modelo=  V*rho*Ce*dTdt == F*rho*Ce*Tin - F*rho*Ce*T - kappa*T+ Q;

% Repr. interna:

dTdt_sym=simplify(solve(Modelo,dTdt),50)

% Tiene expresión \frac{dT}{dt}=-\frac{1}{V}F(T-T_{in})-aT+bQ, con  a=\frac{\kappa}{V\rho C_e}, \quad b=\frac{1}{V\rho C_e}.
% V/F es el "tiempo de residencia", tiempo en el que todo el fluido será renovado.
% Es no lineal por el producto FT y FT_{in}.
% No podemos, pues, por el momento expresar el modelo como \frac{dx}{dt}=A\cdot x+Bu que es la forma normalizada lineal.