Análisis componentes principales de un proceso estocástico (transf. Karhunen-Loève): ejemplo Matlab (muestreado)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 15:52

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Resumen:

Este vídeo considera 361 muestras de un proceso estocástico cuya densidad espectral de potencia viene dada por un filtro de Butterworth. La transformada inversa de Fourier produce la correlación $\kappa (x_1,x_2)$ estacionaria, y con ella se genera la matriz de varianzas-covarianzas de 361x361 de las muestras desde 0 a 36 segundos, con período 0.1 s.

Los autovectores y autovalores de la matriz sirven tanto para generar muestras de ese proceso entendido como una distribución normal 361-dimensional (se recomienda visualizar el vídeo [dadogaus] previamente a éste), como para hacer un análisis de componentes principales (trayectorias que explican más varianza), haciendo un análogo de las ideas de análisis de series de datos empíricos (vídeos [pca0] y [pca1]) según su matriz de varianzas covarianzas, pero ahora aplicado a las series temporales.

Se comprueba que cuanto más lenta es la dinámica del proceso estocástico (menor ancho de banda del filtro), menos componentes son necesarios para explicar el 95% de la variabilidad. Las ideas están en cierto modo relacionadas con el teorema de Shannon sobre el muestreo (que usa la autocorrelación $\kappa (x_1,x_2)=\frac{sin(x)}{x}$, y que aquí también se comprueban sus componentes principales).

Cuando el período de muestreo tiende a cero, los autovectores pasan a a ser autofunciones del tiempo, y el análisis de componentes principales se convierte en lo que se denomina transformación de Karhunen-Loève en la literatura.