Linealización y desacoplamiento por realimentación del estado: ejemplo tanque de mezclado (Matlab)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 08:02

*Accede pulsando el enlace a la [ Colección completa] de vídeos docentes y materiales asociados.

Resumen:

Este vídeo discute la linealización y desacoplamiento por realimentación del estado en un tanque de mezclado (mediante elementos no lineales, al ser el proceso no lineal). Un ejemplo sencillo sin usar Matlab se aborda en el vídeo [fblin1], cuya visualización previa se aconseja.

El tanque de mezclado ha sido modelado en detalle en el vídeo [modmix]. No obstante, el primer minuto y medio en el vídeo aquí discutido revisa rápidamente dicho modelo, por comodidad del lector, dado que, obviamente, el modelo no lineal es necesario conocerlo para poder programar la cancelación de sus no-linealidades. Si se quisiera evitar usar expresiones no lineales, el modelo linealizado y el desacoplamiento alrededor de un punto de funcionamiento usando dicho modelo linealizado se abordan, por ejemplo, en los vídeos [linmix] y [mixdecaw], respectivamente. Si las referencias de concentración cambiasen mucho, el uso de ecuaciones no lineales sería ventajoso (por eso el ratio control se usa con profusión en procesos químicos); si todo fueran pequen~os incrementos alrededor de un punto nominal de operación, entonces no habría demasiada diferencia entre el enfoque no-lineal general y el desacoplamiento linealizado.

Tras el modelado, se entra en el objetivo principal del vídeo que es linealización y desacoplamiento. En concreto, primero se calculan las expresiones $\frac{d{x}_A}{dt}={\varphi }_1(v_a,v_b,q_{ain},q_{bin})$ y $\frac{dh}{dt}={\varphi }_2(v_a,v_b,q_{ain},q_{bin})$ mediante la Symbolic Toolbox, multiplicando el Jacobiano de la ecuación de salida (jacobian) por la ecuación de estado.

Después, se intenta resolver el sistema de dos ecuaciones

considerando ${\nu }_1$ y ${\nu }_2$ como unas nuevas entradas “artificiales” que serán calculadas con posterioridad, y considerando $q_{ain}$ y $q_{bin}$ como incógnitas a “despejar”. Con el comando solve se consigue, sin ningún tipo de problema, despejar expresiones $q_{ain}={\sigma }_1(v_a,v_b,{\nu }_1,{\nu }_2)$ y $q_{bin}={\sigma }_2(v_a,v_b,{\nu }_1,{\nu }_2)$. Usando esas expresiones como ley de control no lineal, se consigue $\frac{d{x}_A}{dt}={\nu }_1$, $\frac{dh}{dt}={\nu }_2$ transformando el tanque de mezclado en dos sistemas lineales, desacoplados, de primer orden cada uno de ellos. Lo único que quedaría para completar el disen~o serían, por ejemplo, un par de reguladores proporcionales para el proceso $\frac{1}{s}$ (integrador puro), no discutidos en este vídeo.

Otro ejemplo de este tipo de manipulaciones para un problema de control cinemático de robots aparece en el vídeo [robdfl], y la misma idea aplicada a procesos lineales (para desacoplar) se discute en el vídeo [fbdclin].

Nótese que en un caso general, el número de derivadas de las salidas a hacer hasta que se pueda plantear el sistema de ecuaciones a resolver con solve puede ser diferente de uno (aunque en este caso ha sido así para ilustrar un ejemplo sencillo), e incluso puede ser diferente en unas salidas u otras, como ilustra el vídeo [fbdclin] arriba mencionado; eso puede ocurrir tanto en un caso lineal como en un caso no lineal. La metodología acaba transformando un proceso de $m$ entradas y $m$ salidas a blkdiag($1∕s^{{\rho }_1}$,$1∕s^{{\rho }_2}$, …, $1∕s^{{\rho }_m}$), siendo ${\rho }_i$ lo que se denomina grado relativo de la salida $i$; en este caso sencillo ha sido ${\rho }_1=1$, ${\rho }_2=1$.