Mínimos cuadrados totales TLS: teoría

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 19:15

Resumen:

Este vídeo discute el problema de mínimos cuadrados “totales” (total least squares, TLS, en la literatura en lengua inglesa) que resuelve el ajuste de un modelo $y=C\cdot x$, con medidas de $x$, $y$ pero considerando que ambas están corrompidas por ruido de desviaciones típicas ${\sigma }_x$, ${\sigma }_y$ respectivamente. En ese caso, los mínimos cuadrados estandard, esto es, $Ĉ=pinv(X)y$, son un estimador sesgado, esto es, con un error incluso en media (error sistemático).

La propuesta para resolver el TLS y obtener un estimado de $C$ no sesgado es formar la matriz de varianzas covarianzas de $(x,y)$ y restarle a dicha matriz una diagonal $blkdiag({\sigma }_x^{2}I,{\sigma }_y^{2}I)$.

*Si se hace escalado/normalizado de los datos para que la desviación típica del ruido de medida de $x$ e $y$ sean idéntico, entonces formando la matriz de datos con todas las muestras de $(x,y)$, y computando su SVD, el modelo TLS se asocia a las direcciones (filas de $U$) asociadas a los valores singulares más pequeños. Esto está directamente relacionado con lo que se denomina análisis de componentes principales, discutido en otros vídeos de la presente colección.

Ejemplos Matlab de TLS aparecen en los vídeos [tlsm] y [tls51].

Colección completa [VER]:

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