Transformación (función) de una variable aleatoria: fórmula del cambio de variable, ejemplo distribución normal

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:15

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Resumen:

En este vídeo se plantea el problema de tener deteminada función $y=h(x)$ donde la entrada sea una variable aleatoria. Por tanto $y$ será una variable aleatoria, aunque si se mirase junto a ’$x$’ la relación fuese determinista.

En el vídeo introductorio [opvau], motivador a éste problema, se analiza una distribución uniforme de una forma “heurística”. La teoría de la fórmula del cambio de variable se detalla en el vídeo [opvafcv], y el presente vídeo (que resume en el primer minuto dicho vídeo teórico) presenta un ejemplo de su aplicación con una entrada $x$ de distribución normal (estándard, de media cero y varianza unidad).

Primero, se aborda el caso de una transformación lineal $y=h(x)=3x+2$. Se comprueba que la fórmula del cambio de variable resulta en una distribución normal de media 2 y desviación típica 3, varianza 9.

La parte final del vídeo utiliza la fórmula de cambio de variable ante la función $y=h(x)=x^2$. Como no es monótona, se debe hacer con cuidado, considerando sólamente la parte de $x>0$ y luego argumentando en base a la simetría tanto de la densidad de $x$ como de $h(x)$.

El resultado es una función de densidad $f_y(\cdot )$ “famosa”, que es la base de desarrollos posteriores (sobre varianza muestral), y se denomina ${\chi }^2$ (de 1 grado de libertad) definida, efectivamente, como la distribución de probabilidad del cuadrado de una distribución normal estándar. Esos desarrollos no son, obviamente, objetivos de este vídeo.