Dibuja curvas de Bézier de grado 3 (cúbicas)

1. Breve teoría

Dados dos puntos p y q, los puntos del segmento entre p y q se puede parametrizar mediante la expresión r(t) = (1 - t) p + t q, siendo t ∊[0,1].

Obsérvese que r(0) = p, r(1) = q. Además a medida que si t decrece a 0, entonces r(t) se acerca a p; mientras que si t crece a 1, entonces r(t) se acerca a q.

2. Cúbicas de Bézier

Dados los puntos p₁, p₂, p₃ y p₄ (llamados puntos de control) y t ∊[0,1]; se construyen los puntos b_ij como se indica en esta tabla:

Se denota

B[p₁, p₂, p₃, p₄](t) := b₁₃(t).

A medida que t va variando en [0,1], el punto B[p₁, p₂, p₃, p₄](t) describe una curva llamada curva de Bézier asociada a los puntos p_1, p_2, p_{3 y} p₄.

Se puede probar que

B[p₁, p₂, p₃, p₄](t) = (1 - t)³ p₁ + 3t (1 - t)² p₂ + 3t² (1-t) p₃ + t³ p₄

lo que justifica que B[p₁, p₂, p₃, p₄] es una cúbica. Por eso, a B[p₁, p₂, p₃, p₄] se le llama también cúbica de Bézier. El algoritmo descrito se debe a Casteljau.