Dibuja curvas de Bézier de grado 2 (parábolas)

1. Breve teoría

Dados dos puntos p y q, los puntos del segmento entre p y q se puede parametrizar mediante la expresión r(t) = (1 - t) p + t q, siendo t ∊[0,1].

Obsérvese que r(0) = p, r(1) = q. Además a medida que si t decrece a 0, entonces r(t) se acerca a p; mientras que si t crece a 1, entonces r(t) se acerca a q.

2. Parábolas de Bézier

Dados los puntos p₁, p₂ y p₃ (llamados puntos de control) y t ∊[0,1]; se construyen

b_1,1(t) := (1 - t) p₁ + t p₂,

b_1,2(t) := (1 - t) p₂ + t p₃.

Por último se construye

B[p₁, p₂, p₃](t) := (1 - t) b_1,1(t) + t b_1,2(t).

A medida que t va variando en [0,1], el punto B[p₁, p₂, p₃](t) describe una curva llamada curva de Bézier asociada a los puntos p₁, p₂ y p₃.

Se puede probar que

B[p₁, p₂, p₃](t) =  (1 - t)² p₁ + 2t (1 - t) p₂ + t² p₃,

lo que justifica que B[p₁, p₂, p₃](t) es una parábola. Por eso, a B[p₁,p₂,p₃](t) se le llama también parábola de Bézier. El algoritmo descrito se debe a Casteljau.