·  Límite de una función en un punto

    · Límite en el infinito

    · Límite  infinito

    · Límite de una suma de funciones

    · Límite de un producto de funciones

    · Límite de un cociente de funciones

    · Límite de una potencia y una raíz

    · Límite de un polinomio

    · Límite de una función racional

    · Límite de expresiones irracionales

    · Iniciación al cálculo de límites

    · Funciones continuas

    · Funciones discontinuas

    · Algunos teoremas relacionados con funciones continuas

·  Límite de una función en un punto

        Si f es una función definida en un intervalo real [a,b], y x₀ es un punto de dicho intervalo, diremos que f(x) tiende a y₀  cuando x tiende a x₀  si a todo intervalo abierto que contenga a y₀ , (es decir, un intervalo de la forma ] y₀ - e , y₀ + e [  cualquiera que sea e ), le corresponde un intervalo abierto que contiene a x₀ (es decir, un intervalo de la forma ] x₀ - d , x₀ + d [ cualquiera que sea d ), y tal que si x ¹x₀, xÎ[a,b] Ç ] x₀ - d , x₀ + d [ , entonces f( x)Î ] y₀ - e, y₀ + e [ .

        Si esto se cumple, se dice que y₀ es el límite de f(x) cuando x tiende a x₀  y se escribe:

        Esto equivale a decir que, a todo e > 0 , corresponde un d > 0  tal que

        En los extremos del intervalo [a,b], podemos decir que

· , si a todo e > 0 , corresponde un d > 0  tal que " x ¹ a, a < x < a+d es ½f(x)-y₀½< e; en este caso se dice que la función f(x) tiende a y₀ cuando x tiende hacia a por la derecha y se escribe

·, si a todo e > 0 , corresponde un d > 0  tal que " x ¹ b, b-d < x < b es ½f(x)-y₀½< e; en este caso se dice que la función f(x) tiende a y₀ cuando x tiende hacia b por la izquierda y se escribe

En general, aun siendo x₀  un punto interior del intervalo [a,b], denotaremos el límite por la derecha con la siguiente notación:

y el límite por la izquierda:

        Una función puede tener en un punto x₀ límite por la derecha y no por la izquierda (y viceversa), puede carecer de los dos, pueden existir los dos y ser iguales, o distintos, pero lo que no debemos olvidar es lo siguiente:

Ejemplo:

Recordemos la función E[x], (parte entera de x)

         Supongamos que exista el , puede suceder que tenga 

            · el mismo valor que la imagen del punto x₀  por la función f, (f(x₀))

            · valor distinto a f(x₀).

        Aunque también puede ocurrir que no exista f(x₀)

·                    Propiedades de los límites:

1. Si la función f está acotada en un cierto entorno reducido  de x₀.

2. Si >0, la función f es positiva en un cierto entorno reducido  de x₀.

3. Si <0, la función f es negativa en un cierto entorno reducido  de x₀.

4. Si , , y L<H, entonces f(x)<g(x) en un cierto entorno reducido  de x₀.

5. Si , , y en un cierto entorno reducido  de x₀ se verifica que f(x)<g(x), entonces  L £ H. 

6. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

7. Si , , y f(x)<s(x)<g(x) en un cierto entorno reducido  de x₀, entonces . 

·      Límite en el infinito

         Se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia infinito es L si: " e>0, $ e>0 / ½x½>K Þ½f(x)-L ½<e. Se representa por:

Ejemplo:

Sea la función. Diremos que f(x) tiene una asíntota horizontal en la recta y=3 ya que

·        Límite en más infinito

Se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia más infinito es L si: " e>0, $ KÎR / x>K Þ½f(x)-L ½<e. Se representa por:

 ·        Límite en menos infinito

Se dice que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia menos infinito es L si: " e>0, $ KÎR / x<K Þ½f(x)-L ½<e. Se representa por:

Ejemplo:

Sea la función f(x) = 5^x,

·      Límite infinito 

Se dice que el límite de una función f(x) es infinito cuando x tiende hacia x₀ cuando: " MÎR, $ d>0 /0<½x-x₀½<dÞ½f(x)½>M. Escribiremos:

Ejemplo:

Sea la función . Diremos que f(x) tiene una asíntota vertical en la recta x=1 ya que

Análogamente se definen los límites +¥,-¥: 

¨ Se dice que el límite de una función f(x) es más infinito cuando x tiende hacia x₀ cuando: " MÎ R, $ d>0 /0<½x-x₀ ½<d Þ f(x) >M. Escribiremos:

¨ Se dice que el límite de una función f(x) es menos infinito cuando x tiende hacia x₀ cuando: " MÎR, $ d>0 /0<½x-x₀ ½<d Þ f(x) <M. Escribiremos:

 ·        Infinitésimo

         Diremos que f(x) es un infinitésimo en el punto x₀ si tiene por límite 0 en x=x₀.

·      Límite de una suma de funciones

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

·      Límite de un producto de funciones

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

·      Límite de un cociente de funciones

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

 ·   Sean dos funciones f y g, a: finito o infinito

·      Límite de una potencia y de una raíz 

 ·   Si

·   Si   y está definida en un entorno de x₀, entonces: 

·      Límite de un polinomio

         Cuando x tiende a ± ¥  el límite del polinomio es infinito con el mismo signo que su término de grado superior.

Ejemplo:

.

 ·      Límite de una función racional

         Cuando x tiende a ± ¥  el límite de una función racional (cociente de polinomios) es el mismo que el del cociente de los términos de mayor grado de su numerador y su denominador.

Nota: si para un cierto punto a se anulan tanto numerador como denominador en una fracción, diremos que se presenta la forma indeterminada,en este caso, el límite de la fracción para x = a es el mismo que el de la fracción que resulta de simplificar por x-a.  

Ejemplo:

·      Límite de expresiones irracionales

         Si en  una fracción, la expresión irracional se halla en el denominador (numerador), bastará con multiplicar numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador (numerador). 

Ejemplo:

·      Iniciación al cálculo de límites

Reglas básicas:   a Î R - {0}

Indeterminaciones

· Indeterminación (cociente de polinomios):

         El proceso a efectuar será dividir numerador y denominador por la x de mayor potencia. 

a).Grado del numerador mayor: 

Ejemplo:

b).Grado del numerador y denominador iguales: 

Ejemplo:

 c).Grado del denominador mayor:

Ejemplo:

· Indeterminación   

Ejemplo:

Ejemplo:

· Indeterminación

Ejemplo:

Recordar que:

· Indeterminación

Ejemplo:

·      Funciones continuas 

         Diremos que la función es continua en un intervalo  [a,b]  si lo es en todos sus puntos, lo cual implica que ha de estar definida en todos sus puntos, que en todos sus puntos interiores debe tener límite por  la derecha, por la izquierda y que éstos han de ser iguales y tomar el mismo valor que la función en dicho punto, además, en los extremos del intervalo se debe cumplir: f(a⁺ ) = f(a) y f(b^- ) = f(b). 

Ejemplo:

En el ejemplo anterior, la función  E[x], (parte entera de x) es continua en los puntos interiores de cada subintervalo, pero no en los extremos, así podemos decir que es continua en los reales salvo los enteros.

 · Propiedades de las funciones continuas: 

Sean f(x), g(x) dos funciones continuas en [a,b] , entonces:

   · La función (f+g)(x) es continua en [a,b] .

   · La función (fÑ g)(x) es continua en [a,b] .

   · Si la función g(x) no se anula en [a,b] , entonces la funciónes continua en [a,b] .

    · La función (aÑf)(x) es continua en [a,b] , para todo aÎR.

    · Si h(x) es una función continua en f([a,b] ), entonces la función (h¥f)(x) es continua en [a,b] .

Si varias funciones son continuas en un mismo intervalo, toda función que resulte de combinar las dadas mediante un número finito de operaciones es también continua en el mismo intervalo, salvo en los puntos en los que no esté definida.

Así pues son continuas las siguientes funciones:

1. La función constante es continua en el cuerpo de los reales.

2. La función identidad es continua en el cuerpo de los reales.

3. La función es continua en el cuerpo de los reales.

4. La función polinómica es continua en el cuerpo de los reales.

5. La función racional o cociente de polinomios es continua en el cuerpo de los reales, salvo en aquellos valores que anulen el denominador.

·      Funciones discontinuas

Diremos que una función es discontinua en un punto cuando no es continua en dicho punto. Si representamos gráficamente una función discontinua, observaremos que en dicho punto presenta un salto.

 ·        Tipos de discontinuidades:

 1). Evitable: cuando existe y es finito el , pero no existe el valor de la función en dicho punto f(x₀). Se soluciona atribuyendo a la función en el punto x₀  el valor del límite.

Ejemplo:

Sea . En el punto x = 0 no está definida, pero sí el límite

Así pues, asignando f(0)=-1, se soluciona la discontinuidad.

2). Inevitable: cuando existen tanto el como el valor de la función en x₀ , pero son distintos. 

Ejemplo:

Sea                 

3). Inevitable: cuando existen (siendo finitos o infinitos) los límites laterales pero son distintos. 

Ejemplo:

Observemos la siguiente gráfica en el punto x =2 (por ejemplo).

·      Algunos teoremas relacionados con funciones continuas

  · Teorema de Bolzano

  · Teorema

  · Teorema de Bolzano-Weierstrass

      Si f(x) es continua en [a,b], existe un punto c Î [a,b] en el cual la función toma un valor máximo absoluto y un punto d Î [a,b] en el cual la función toma un valor mínimo absoluto.

Por consiguiente, toda función continua en [a,b] está acotada

Teorema

Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en [a,b], existe la función inversa en el intervalo correspondiente [f(a),f(b)], que es continua y estrictamente creciente (decreciente).