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· Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

· Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

· Ecuación de la recta normal a una curva en un punto

· Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

    Si       Q  P   Þ   la recta secante PQ ® recta tangente en P  Þ   j ® a   Þ   tg j =  ® tg a   Þ 

         Por si el alumno no llega a seguir claramente la línea de razonamiento propuesta de forma simbólica en el proceso anterior, intentaremos explicarla “con palabras”:

         A medida que el incremento de x va decreciendo, el punto Q irá desplazándose hacia el punto P hasta llegar prácticamente a superponérsele cuando , de manera que la recta secante que pasa por P y por Q tenderá a “convertirse” en recta tangente a la curva en P. Consecuentemente, el ángulo φ que formaba dicha recta secante con el sentido positivo del eje OX tenderá a “convertirse” en el ángulo α que forma la recta tangente a la curva en P con dicho sentido positivo del eje X. Por tanto, evidentemente, tg j ® tg a , y así, finalmente, la derivada , que es el , será igual a la tg α , que, como sabemos, es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.

Resumiendo, pues,

 Se dice que “la curva pasa por P con pendiente ”.

·  Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto

         Recordando la ecuación “punto-pendiente” de una recta en el plano cartesiano, la ecuación de la recta tangente a la curva  en el punto P será:

                  o bien          

·  Ecuación de la recta normal a una curva en un punto

         Como la recta normal a una curva en un punto es la perpendicular a la tangente en ese punto, su pendiente será la opuesta de la inversa de la pendiente de la tangente, y, por tanto,

         Como de momento “sólo sabemos” (por haberlo hallado antes) que la deri­vada de la función  en el punto  vale 6 , y en el punto  vale –4 , sólo podremos poner como ejemplo las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en uno de esos dos puntos. En el punto , hallando previamente la imagen , tendremos:

         Tangente   

         Normal   

Consideramos que es importante resaltar la “equivalencia” entre el hecho de que una función  sea derivable en un punto  y el hecho de que la curva  tenga recta tangente en el punto  P.