·  Incrementos. Tasa de variación. Cociente incremental o tasa de variación media.

     Sea  una función real de variable real y sea  un punto de su dominio. Trabajaremos, de ahora en adelante, en un entorno pequeño del punto . Esto significa que cualquier punto que tomemos estará “cerca” del punto. Si x es un punto cualquiera de ese entorno (y por tanto está “próximo” a x), a la diferencia  se la denota por , que se lee  “incremento de x”. Es decir:  ,  de donde, despejando,  .

Análogamente, a la diferencia   se la denota por   ó , que llamaremos “incremento de la función” correspondiente al incremento de x tomado. Es decir:

teniendo en cuenta en esta última igualdad  que .

Más exactamente,    es el incremento de la variable independiente x en el punto .  E    es el incremento de la función en el punto , correspondiente al  tomado, o tasa de variación de la función  en el intervalo  .

    Nótese que  depende de  y de  , además de depender, naturalmente, de la propia función  f.

     El cociente    recibe el nombre de cociente incremental o tasa de variación media (t_m) de la función  en el intervalo  .

La tasa de variación de una función nos da una primera idea de la rapidez con la que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no sea bastante “precisa”. La tasa de variación media “afina” este concepto, ya que muestra la variación de la función por unidad de incremento de la variable independiente x. Así podemos comparar si varía lo mismo en dos o más intervalos diferentes.

Ejemplo numérico: Si tomamos la función , sus tasas de variación media en los intervalos  son respectivamente:

que, como se puede comprobar, no son las mismas en los tres casos, aunque los incrementos de la variable independiente sean todos iguales: .

Ahora bien, aunque en el ejemplo anterior hemos tomado unos intervalos “largos” (de dos unidades) de la variable independiente x, en realidad vamos a trabajar siempre en un entorno “pequeño” del punto , es de­cir con incrementos “muy pequeños” de la variable independiente x.

        Continuando con la función , vamos a estudiar su tasa de variación y su tasa de variación media en un entorno del punto :

         Si tomamos  será

         Si tomamos  será

         Y  si tomamos   será

          De aquí podemos sacar las primeras conclusiones: si el incremento de la variable independiente es “suficientemente pequeño” alrededor de un punto , el cociente incremental o tasa de variación media de la función  “se acerca” a 6 el límite de cuando .