·  Derivada logarítmica

Es un método  de cálculo de funciones derivadas que consiste en tomar primero logaritmos neperianos en los dos miembros de la ecuación de la función, transformar el segundo miembro aplicando propiedades de los logaritmos, derivar después los dos miembros de la ecuación teniendo en cuenta la Regla de la Cadena, y, finalmente, despejar la derivada   .

Por ejemplo:

Este método lo utilizaremos más adelante para hallar, por ejemplo, la función derivada de una función potencial-exponencial. Pero de momento lo vamos a utilizar en los apartados que siguen para hallar fácilmente las funciones derivadas de otras muchas funciones elementales. El alumno, pues, debe tenerlo en cuenta sin que sea necesario que lo indiquemos en cada caso.

ℚ

 ·  Derivada de la función potencial                                            

¤ “La derivada de una potencia es igual al exponente multiplicado por la base elevada a una unidad menos”

Incluyendo la Regla de la Cadena:      

Es muy importante destacar que la regla es válida para cualesquiera exponentes racionales, como se ha indicado al principio, lo cual nos permitirá derivar fácilmente como potenciales todas aquellas funciones que puedan expresarse como tales según veremos en los ejemplos que siguen.

Además –y esto lo consideramos importante–, al actuar así no tenemos necesidad de forzar nuestra memoria con una regla más para derivar las funciones que sean raíces de índice mayor que dos.

Ejemplos:

   a)  Si

   b)  Si

   c)  Si

   d)  Si

   e)  Si

   f)  Si

   g)  Si    ®

®  

   h)  Si

   i)  Ahora que sabemos derivar funciones potenciales, podemos poner algún otro ejemplo de función continua y no derivable en un punto anguloso.

         Se trata, por ejemplo, de la función , cuya derivada, ya hallada en el apartado d), es  .

         Si intentamos hallar el valor de dicha derivada en el punto  (donde ) nos encontramos que no podemos hallar la regla anterior, pues  , siendo imposible dividir por cero. La gráfica de esta función tiene un punto “anguloso” en el origen por lo que no tiene derivada en . Sin embargo, es una función definida y continua en todo ℝ (también, por tanto, en el origen), siendo además función par, y, consecuentemente, simétrica respecto al eje Y. Su gráfica es fácil de hallar, siendo aproximadamente de la forma