Cálculo de Derivadas
· 2.2. Incrementos. Tasa de variación. Cociente incremental o tasa de variación media.
Sea
una función real de variable real y sea
un punto de su dominio. Trabajaremos, de ahora en adelante,
en un entorno pequeño del punto . Esto significa que cualquier punto que tomemos estará
“cerca” del punto. Si x
es un punto cualquiera de ese entorno (y por
tanto está “próximo” a x), a la
diferencia 
se la denota por 
, que se lee “incremento de x”.
Es decir: 
, de donde, despejando,
.
Análogamente, a la diferencia
se la denota por 
ó 
, que llamaremos “incremento de la función” correspondiente al
incremento de x tomado. Es decir:
teniendo en cuenta en esta última igualdad que
.
Más exactamente,
es el incremento de la variable independiente x en el punto
. E 
es el incremento de la función en el punto
, correspondiente al
tomado, o tasa de variación de la función
en el intervalo 
.
Nótese que
depende de y de , además de depender, naturalmente, de la propia función f.
El cociente
recibe el nombre de cociente incremental o tasa de
variación media (tm) de la función
en el intervalo .
La tasa de variación de una función nos da una primera idea de la rapidez con la que crece o decrece la función en un intervalo, aunque no sea bastante “precisa”. La tasa de variación media “afina” este concepto, ya que muestra la variación de la función por unidad de incremento de la variable independiente x. Así podemos comparar si varía lo mismo en dos o más intervalos diferentes.
Ejemplo numérico:
Si tomamos la función 
, sus tasas de variación media en los intervalos
son respectivamente:
que, como se puede comprobar, no son las mismas
en los tres casos, aunque los incrementos de la variable independiente sean
todos iguales: 
.
Ahora bien, aunque en el ejemplo anterior hemos
tomado unos intervalos “largos” (de dos unidades) de la variable independiente x, en realidad vamos a trabajar
siempre en un entorno “pequeño” del punto
, es decir con incrementos “muy pequeños” de la variable
independiente x.
Continuando con la función
, vamos a estudiar su tasa de variación y su tasa de variación
media en un entorno del punto 
:
Si tomamos
será
Si tomamos
será
Y si tomamos 
será
De aquí podemos sacar las primeras
conclusiones: si el incremento de la variable independiente es “suficientemente
pequeño” alrededor de un punto , el cociente incremental o tasa de variación media de la
función 
“se acerca” a 6 el límite de
cuando 
.