5.2. Cálculo de funciones derivadas

         En este importante apartado vamos a ir deduciendo las funciones de­ri­vadas de las funciones “elementales” y de algunas operaciones con funciones. Naturalmente, será imprescindible que el alumno aprenda de memoria las reglas de derivación que aquí se obtendrán, para luego poder aplicarlas cuando le surja la necesidad de derivar cualquier función.

         Nuestra modesta experiencia pedagógica nos lleva a la conclusión de que (aun cuando el procedimiento pueda parecer “anticuado”) es muy conveniente que el alumno aprenda “con palabras” estas reglas de derivación, siempre dando por descontado que sepa aplicarlas correctamente.

Por esa razón nos permitiremos “traducir en palabras” cada regla obtenida, dejando bien claro, naturalmente, que es el alumno quien ha de decidir si considera conveniente o no recordarlas de esa forma.

·  5.2.1. Derivada de una función constante 

    En resumen:      

    ¤ “La derivada de una función constante es cero”

Ejemplos:

a)  Si

b)  Si

c)  Si

d)  Si

     e)  Si

·  5.2.2. Derivada de la función identidad 

    Ya hemos deducido antes que    

 ¤ “La derivada de x es 1”

· 5.2.3. Derivada del producto de una constante por una función

    En resumen:       

    ¤ “La derivada de una constante multiplicada por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función”

         De momento tan sólo conocemos las funciones derivadas de la función cuadrado, la función identidad y la función raíz cuadrada, por lo que  los ejemplos que ahora pondremos habrán de basarse en dichas funciones. Naturalmente, a medida que “progresemos” en el aprendizaje de las funciones derivadas, los nuevos ejemplos irán ampliándose a los nuevos conocimientos adquiridos.

Ejemplos:

   a)  Si

   b)  Si    

   c)  Si

       Al llegar a este apartado podemos ya abordar dos “cuestiones” que habían quedado pendientes con anterioridad, debido a que nos faltaban todavía “herramientas” para su resolución.

        Se trata, por una parte, del cálculo de derivadas laterales; y, por otra parte, de comprobar que “continuidad no implica derivabilidad”.

        Tomemos la función valor absoluto de x,  .

        Por definición de valor absoluto de un número real, esta función puede escribirse como una función “definida a trozos”, de la siguiente manera:

Por tanto, si queremos hallar su derivada en el punto  nos vemos obligados a estudiar sus derivadas por la izquierda y por la derecha:

         Estamos, pues, ante una función que en el punto  tiene derivadas laterales distintas. En consecuencia, no es derivable en dicho punto. Y sin embargo es continua en él, como puedes intuir viendo  su gráfica, que es

Se trata, pues, de uno de los contraejemplos, que antes habíamos anun­­ciado, que prueban que no es cierto el recíproco del teorema: “Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto”.

Por otro lado, ese punto , en el que no es derivable, es un “pun­to anguloso” de los que hemos mencionado antes, en el que la gráfica no tendrá tangente, sino semitangentes por la izquierda y por la derecha cu­yas ecuaciones vamos a hallar, teniendo en cuenta que el punto es el :

Semitangente por la izquierda:   

Semitangente por la derecha:  

lo cual, por otro lado, resulta evidente observando la gráfica.

·  5.2.4. Derivada de una suma de funciones  

         =

En resumen:      

¤ “La derivada de una suma es la suma de las derivadas”

        Naturalmente, como la diferencia no es más que la suma con el opuesto, la regla deducida para la suma de funciones será igualmente válida para la diferencia de las mismas sustituyendo suma por diferencia.

        Con las funciones derivadas conocidas hasta ahora podemos poner los siguientes ejemplos: 

   a)  Si

   b)  Si

   c)  Si

·  5.2.5. Linealidad de la derivación

         Como consecuencia inmediata de las dos propiedades anteriores, podemos concluir que la derivación conserva las combinaciones lineales, o sea, que

¤ “la derivada de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de sus derivadas”:

        La aplicación más frecuente de esta propiedad la encontraremos un poco más tarde en las derivadas de las funciones polinómicas en general, aunque en los ejemplos que siguen ya se aplique a polinomios sencillos.

Ejemplos: 

   a)  Si     

   b)  Si

   c)  Si

   d)  Si

   e)  Si