Análisis de variables canónicas: diagonalización de la correlación, interpretación del resultado

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 16:56

Resumen:

Este vídeo discute el detalle algorítmico del análisis en variables canónicas cuyas ideas preliminares se abordan en el vídeo [cva1]. Básicamente, en variables preblanqueadas, la matriz de varianzas covarianzas es:

El análisis CVA propone realizar un segundo cambio de variable, además del preblanqueado, basándose en el SVD de ${\mathrm{\Sigma }}_{\tilde{y}\tilde{x}}=US{V}^T$ (o sea, el mismo que el PLS ortogonalizado). Con ese segundo cambio, la matriz de varianzas-covarianzas conjuntas queda:

y todos los elementos de la diagonal de $S$ están entre cero y uno, teniendo unidades de coeficiente de correlación. Esos elementos son las correlaciones canónicas, y los cambios de variable determinan las “variables canónicas” asociando parejas de combinaciones de entradas y combinaciones de salidas conforme a su correlación.

La segunda mitad del vídeo discute una interpretación “gráfica” de los componentes canónicos. Básicamente, las variables canónicas pueden descomponerse, con una interpretación (informalmente asociada a conceptos de “control”, con un poco de imaginación) en:

1. Entradas, en dos grupos:

   • Grupo “no observable” que no tienen correlación con salidas, no sirven para predecirlas.

   • Grupo “observable” con correlación con las salidas.

2. Salidas, en dos grupos:

   • Grupo “no controlable” que no tienen correlación con entradas: las entradas no sirven para predecirlas y, viceversa, ellas tampoco sirven para predecir nada de la entrada.

   • Grupo “controlable” con correlación con las entradas y que, por tanto, si estas entradas fueran “manipulables” podrían ser modificadas (parcialmente, quizás) calculando los valores adecuados de la entrada (en variables canónicas, están relacionadas por una simple matriz diagonal).

Colección completa [VER]:

• Anterior   Análisis de variables canónicas (canonical variate analysis, CVA): planteamiento y justificación

• Siguiente Regularización de CVA y O-PLS