Ecuaciones de estado y de salida en modelos matemáticos realizables (Markov)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:50

Resumen:

Este vídeo es continuación del vídeo [estado1], donde se discutió las hipótesis sobre las leyes de la Física que dan lugar a la necesidad de que exista un cierto vector de estado que almacene toda la energía o información de la que dependerá la evolución futura de un sistema.

En los modelos matemáticos, implica la existencia de un conjunto de “variables de estado” $x(t)$ que verifique una ecuación de estado: $x(t+h)=f(x(t))$, o si el sistema no está aislado $x(t+h)=f(x(t),U)$ siendo $U$ la trayectoria de las entradas (potencias/información compartidas con otros sistemas) posteriores a $t$. Con $h\to 0$, se llega a la representación en tiempo continuo $\frac{dx}{dt}=f(x(t),u(t))$.

También se discute el caso de modelos inciertos (procesos de Markov, series temporales), donde las leyes físicas inciertas son “sin memoria” si se verifica que:

En algunos casos $x$ sólo puede ser observada de forma parcial. Ello requiere introducir lo que se denominan ecuaciones de salida $y(t)=h(x(t),u(t))$. En general, las variables $y$, función de un subconjunto de $x$ no verifican la hipótesis de Markov; se pone un ejemplo de lecturas de posición de un avión para ilustrar dicha situación.

Los modelos con ecuación de estado + ecuación de salida se denominan modelos en representación interna, modelos de Markov parcialmente osbservables, modelos ocultos de Markov, …en distintas fuentes de la literatura.

La última parte del vídeo define la representación interna normalizada lineal $ẋ=Ax+Bu$, $y=Cx+Du$ que resulta de obligar a $f$ y $h$ en las expresiones genéricas citadas anteriormente a ser funciones lineales.

Este vídeo trata los modelos matemáticos de forma puramente “genérica” como consecuencia de la hipótesis de Markov (leyes físicas sin memoria), discutiendo únicamente la “forma” que deberían tener los modelos. Ejemplos de modelos físicos concretos y su representación interna aparecen en los vídeos [mod3t1], [ssmmaB], [sselB], [cir1], …

Los concepto de estado/Markov están relacionados con el concepto de independencia condicional; si se tiene una mínima base de estadística, se aconseja visualizar el vídeo [condin2] para relacionarlo con lo aquí presentado.

Los conceptos de causalidad y realizabilidad, para el caso lineal, son analizados en mayor profundidad en el vídeo [cau].

Colección completa [VER]:

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