Transformación de una variable aleatoria: ejemplo distrib. uniforme (motivación)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ** ,       Relevancia: ,      Duración: 19:36

Resumen:

En este vídeo se plantea el problema de tener deteminada función $y=h(x)$ donde la entrada sea una variable aleatoria. Por tanto $y$ será una variable aleatoria (si se mira “aislada”, porque si se mira junto a ’$x$’ la relación es determinista).

En este vídeo, sólo para el caso de distribución uniforme, se calculan histogramas, medias, varianzas y desviación típica de $x$ e $y$, de cuatro formas:

1. A partir de muestras

2. Como esperanza matemática de funciones de $x$, usando la función de densidad de $x$

3. Como esperanza matemática de $y$ e ${(y-ȳ)}^2$, usando la densidad (marginal) de $y$, sin tener en cuenta su “dependencia” de $x$.

4. A partir de la media y la varianza de $x$ (sólo válido en el caso $h(x)$ lineal)

Con número de muestras tendiendo a infinito, las cuatro opciones dan el mismo resultado.

La parte final del vídeo plantea las dificultades que origina una transformación no lineal (deformación, incluida discontinuidades, de la función de densidad original).

Una forma más correcta de tratar las transformaciones (funciones) de variables aleatorias en otras es con la denominada fórmula del cambio de variable, que se detalla en el vídeo [opvafcv]; de hecho, al final de dicho vídeo se recupera el caso uniforme tratado aquí. Una vez ese desarrollo teórico se ha completado, el vídeo [opvan] hace un análisis parecido al aquí desarrollado, pero con distribución normal.

Colección completa [VER]:

• Anterior   Estadísticos muestrales (media, varianza, ...)

• Siguiente Transformación (función) de una variable aleatoria: fórmula del cambio de variable (distr. continua)