Unidad 3. Estructura de los materiales. Imperfecciones
3- Naturaleza de la estructura cristalina
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3.4 TIPOS PRINCIPALES DE REDES CRISTALINAS

Las redes cristalinas nos las encontramos, obligatoriamente, en materiales cerámicos y metálicos, y con menos profusión en los orgánicos.


Figura 3.33. a) Retículo espacial de un sólido cristalino ideal. b) celda unidad con las constantes reticulares.
El ordenamiento atómico en sólidos cristalinos puede representarse asimilando los átomos a los puntos de intersección de una red de líneas en tres dimensiones. Tal red se llama retículo espacial, figura 3.33a, y puede ser descrita como una disposición de punto tridimensionalmente infinita. Cada punto de la red espacial tiene idéntico entorno y puede ser descrito por una disposición espacial mínima denominada celda unidad, figura 3.33b.

Tabla 3.3. Clasificación de celdas unitarias.

Sistema
Cristalino
Longitudes axiales y
ángulos interaxiales
Retículos espaciales
Cúbico
3 ejes iguales en ángulos rectos, 
a = b = c, a = b = g = 90º
Cúbico simple
Cúbico centrado en el cuerpo
Cúbico centrado en las caras
Tetragonal
3 ejes en ángulos rectos, dos de ellos iguales 
a = b  c, a = b = g = 90º
Tetragonal sencillo
Tetragonal centrado en el cuerpo
Ortorrómbico
3 ejes distintos en ángulos rectos, 
a  b ? c, a = b = g = 90º
Ortorrómbico simple
Ortorrómbico centrado en el cuerpo
Ortorrómbico centrado en las bases
Ortorrómbico centrado en las caras
Romboédrico
3 ejes iguales, inclinados por igual, 
a = b = c, a = b = g ? 90º 
Romboédrico simple
Hexagonal
2 ejes iguales a 120º y a 90º con el tercero, 
a = b ? c, a = b = 90º, g = 120º
Hexagonal sencillo
Monoclínico
3 ejes distintos, dos de ellos no forman 90º 
a ? b ? c, a = b = 90 ? g
Monoclínico simple
Monoclínico centrado en la base
Triclínico
 3 ejes distintos con distinta inclinación, 
y sin formar ningún ángulo recto, 
a ? b ? c,  90º, abg 90º
Triclínico simple

 
La celda unidad se describe por los parámetros reticulares a, b y c, y sus ángulos de orientación a b y g. Todas las redes cristalinas pueden encuadrarse en 14 celdas unitarias estándar que se indican en la tabla 3.3, y se representan en la figura 3.34.
Por su mayor interés en materiales metálicos, se describen las celdas hexagonales y cúbicas.

Figura 3.34. Representación de las celdas unitarias.
3.4.1 Hexagonal compacto ( h.c.)


Figura 3.35.Celdas unitarias de las principales estructuras cristalinas metálicas: 
a) cúbica centrada en el cuerpo, b) cúbica centrada en las caras, y c) hexagonal compacta.

Posee una sucesión regular de planos densos del tipo ABABABA..., o BCBCB..., o CACAC... como puede observarse en la figura 3.35c. Esta estructura se describe corriente-mente por su retículo unidad en el que cada punto representa el centro de la posición ocupada por un átomo. La celdilla queda descrita por los parámetros a y c. La dirección densa, situada en el plano basal, es la que pasa por el centro. El radio del átomo viene determinado en esta dirección según el modelo de esferas duras, por ra = a/2.

Con este modelo, la relación c/a debe ser 1,633, aunque con frecuencia encontramos valores aproximados que corresponden a estructuras deformadas como se observa en la tabla 3.4.

Tabla 3.2. Energías y longitudes de enlace covalentes.

Elemento
Estructura
Distancia 
interatómica (Å)
Relación
Axial
T (ºC)
Aluminio
ccc
2.86
   
Zinc
HD
2.66
1.57
 
Cobalto
HD
cc
3.17
3.13
1.59
20
867
Cobre
ccc
2.55
   
Cromo
cc
2.50
   
Hierro
cc
ccc
2.48
2.58
 
20
950
Molibdeno
cc
2.79
   
Níquel
ccc
2.49
   
Plata
ccc
2.88
   
Platino
cc
2.77
   
Plomo
ccc
3.50
   
Titanio
HD
cc
2.89
2.89
1.60
25
900
Vanadio
cc
2.63
   
Wolframio
cc
2.74
   

 
El número de coordinación, que se define como el número de átomos que contactan con cada uno, es en esta estructura de doce; y el número de átomos por celdilla es de seis.
 

3.4.2 Cúbico centrado en caras ( c.c.c.)

Posee una sucesión regular de planos densos del tipo ABCABCABC... Esta sucesión, así como la descripción de la celdilla unidad, puede observarse en la figura 3.52b. Esta celdilla es descrita por solo un parámetro: el lado del cubo a.
El número de coordinación es, igualmente al hd, de doce. La dirección densa es la de la diagonal del plano basal, y el radio del átomo viene expresado por:

El número de átomos por celdilla es cuatro.
 

3.4.3 Cúbico centrado ( c.c.)

Esta estructura no está construida con planos densos, por lo tanto, posee menos densidad atómica que la hd y c.c.c.

La representación de la celdilla unitaria se observa en la figura 3.35a. Igualmente que en el c.c.c. el parámetro a, lado del cubo, define la celdilla. Su número de coordinación es solo ocho, pero en cambio tiene otros seis átomos a distancia poco mayor que la interatómica.

La dirección densa del sistema (c.c.), es la diagonal del cubo. Por tanto, el radio del átomo vendrá expresado por:

En la tabla 3.4, relacionamos los tipos de estructuras cristalinas y parámetros característicos de la celdilla unitaria correspondientes a los metales más usuales. Se observará que algunos poseen dos tipos de estructura diferentes, como es el caso del Co y Fe: corresponden a formas alotrópicas diferentes de cada metal. Se denomina alotropía a la propiedad que presentan algunos metales de existir, en estado sólido, conformando diferentes estructuras a temperaturas específicas, de modo que la transformación se realiza de forma reversible y a una temperatura definida.
 

3.4.4 Notaciones cristalográficas

En una red cristalina, un plano cristalográfico es el que contiene diversos centros de átomos de la red. Puesto que la estructura cristalina se repite uniformemente en todas las direcciones, todos los planos paralelos que contengan la misma distribución de átomos corresponderán al mismo plano cristalográfico.

Una forma usual de identificar los planos cristalográficos es mediante los índices de Miller, que poseen la ventaja de poderse utilizar directamente en análisis mediante rayos X. Para el caso de redes cúbicas, la determinación de los índices de Miller se realiza, de acuerdo con la figura 3.36, con el siguiente proceso:

1. Se trazan los ejes de referencia cartesia-nos (x, y, z) coincidentes con los parámetros de una celdilla estructural.

2. Se determinan las intersecciones del plano con los ejes de referencia cuantificadas en unidades del parámetro característico. Ver figura 3.33, en cuyo ejemplo será:

ejes                              x     y     z
Intersección genérica  x1   y1  z1
Intersección ejemplo    2    3     1
3. Se determinan sus recíprocas reducidas al mínimo común denominador.
Recíproco genérico 1/x1        1/y1        1/z1  ejemplo   1/2   1/3   1/1.
Recíproco reducido h/x1 . h   k/y1 . k   l/z1 . l  ---          3/6   2/6   6/6, 

de forma que: x1 .h = y1 .k = z1 .l.


Estos números son los índices de Miller, es decir (h,k,l), y en el ejemplo es el (3, 2, 6).

En definitiva, los índices de Miller de un plano cristalográfico son los menores números enteros proporcionales a los recíprocos de las intersecciones del plano a los ejes cristalográficos, expresados en unidades del parámetro respectivo.

Así, el símbolo (h,k,l) representa la totalidad de los planos paralelos, familia de planos al de los índices que hemos calculado. 
Si se desea indicar todos los planos cristalinos de un determinado tipo, prescindiendo de su orientación, se expresan los índices de Miller de cualquier plano de ellos encerrados en unas llaves, en la forma {h, k, l}. 
Este símbolo representa las familias de planos (h, k, l), (h, k, l), (h, k, l) y (h, k, l); donde h representa a -h.

En la figura 3.37 se observan diversas familias de planos cristalográ-ficos denominadas por índices de Miller.


Figura 3.36. Determinación de los índices de Miller en las redes cúbicas.

Figura 3.37. Indices de Miller de diferentes planos cristalográficos en redes cúbicas.
Para definir la dirección cristalográfica se traza una línea en dicha dirección que pase por el origen. Los índices de cada dirección corresponde a los índices vectoriales expresados en unidades de parámetros reticulares, tal como se representa en la figura 3.38. Por ejemplo, en el caso de un cubo su diagonal tendrá el índice [1, 1, 1]. Todas las direcciones que contengan cualquier combinación en signo + o - de los índices de aquella dirección representan la misma dirección, pertenecientes a la misma familia. La familia de índices se representa encerrada entre los los signos < y >; por ejemplo, <1, 1, 1>.

Figura 3.38. Direcciones cristalogáficas en celdas unitarias cúbicas

 
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