Proceso gaussiano: representaciones anticausal y bilateral, ejemplo Matlab

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 16:47

Resumen:

Este vídeo presenta las representaciones ‘anticausal’ y ‘bilateral’ (mezcla de causal y anticausal) de un proceso gaussiano. Las representaciones vienen de usar una raíz cuadrada de la matriz de covarianzas particular, dado que no es única. Los 5 primeros minutos repasan la raíz cuadrada ortogonal que da lugar a los componentes principales Karhunen-Loeve (vídeo [gpkh2]) y la factorización de Cholesky triangular inferior que da lugar a la representación causal (vídeo [gpchol]).

Permutando filas y columnas del resultado de la descomposición de Cholesky, equivalentes a un reordenamiento de variables, obtenemos una representación ‘anticausal’ donde cada variable latente influye sobre la salida del proceso en el mismo lugar y sobre las anteriores (pasadas) según hemos decidido ordenar las abscisas del proceso gaussiano (que podríamos interpretar como ‘tiempo’).

La segunda parte del vídeo discute la raíz cuadrada simétrica $Q=V\cdot \sqrt{D}\cdot V^T$. En ese caso $K=Q{Q}^T=Q^2$. El resultado es una ‘mezcla’ de acción causal y anticausal (simétrica) de las variables latentes sobre la salida observable del proceso, excepto efectos de condiciones iniciales o ventana finita; esto dará lugar a los que sería un kernel de convolución bilateral. Una interpretación intuitiva es que cada fila de $Q$ de las ‘estacionarias’ es como un ‘martillazo’ que deforma de forma simétrica a cada lado del punto de impacto, y que la intensidad del impacto es la variable latente de distribución normal estándar.