Poroceso gaussiano: factorización Cholesky de covarianza, factor espectral, ejemplo Matlab

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 18:31

Resumen:

Este vídeo presenta la interpretación de la factorización de Cholesky (triangular inferior) de la matriz de covarianza de un proceso estocástico gaussiano (en tiempo discreto, dado que aproximamos un proceso contínuo mediante un número finito de abscisas de test). La parte inicial revisa las ideas básicas del vídeo [gpkh2], sobre las raíces cuadradas de una matriz de covarianza y los componentes principales. Luego, se centra en el objetivo principal que es interpretar el significado de la estructura triangular del factor de Cholesky... se le da una interpretación ‘causal’ de modo que la variable latente ’$j$’ tiene efecto sobre las salidas en los puntos $j+1$, …, $241$. Así, se construye una realización del proceso ‘de izquierda a derecha’.

Se observa que las columnas de $Q$ convergen a una única secuencia, que se va desplazando hacia abajo (cuando se alcanza el estado estacionario y los efectos de ventana finita han desaparecido). El vídeo justifica por qué ello da lugar a una fórmula de convolución para calcular el efecto de las variables latentes sobre las salidas; el kernel de convolución puede interpretarse como la respuesta impulsional de un sistema lineal invariante en el tiempo que recibe el nombre de ‘factor espectral causal’ en literatura.

Como las raíces cuadradas no son únicas, existen otras representaciones (anticausal, bilateral) de interés, que se discutirán en el vídeo [gpantica], continuación de éste.