Control con planificación de ganancia para sistemas politópicos via LMIs: planteamiento e introducción

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 11:58

Resumen:

Este vídeo plantea el problema de control óptimo (coste garantizado) mediante planificación de ganancia en sistemas politópicos $ẋ={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i(t)A_{i}x+B_{i}u$, con $0\le h_i\le 1$, ${\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i=1$. En los primeros 3 minutos, se introduce el problema y se diferencia del problema lineal $r=1$, o del robusto $u(x)$, planteando la posibilidad de calcular un $u(h,x)$, que se denomina planificación de ganancia.

Los casos lineal y robusto han sido desarrollados en el vídeo [lqrlmi] y [lqrlmiro], respectivamente; la visualización previa de estos dos vídeos es muy aconsejable, para comprender mejor las modificaciones que la planificación de ganancia requiere.

En concreto, en planificación de ganancia se propone $u=-({\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i(t)F_i)\cdot x$.

A partir del minuto [04:30] se calculan las ecuaciones en bucle cerrado con este tipo de controladores, que resultan en sumas dobles $ẋ={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{\sum }_{i=1}^r{h}_i(t)h_j(t)\cdot (A_i-B_i{F}_j)x$.

Por conveniencia, se agruparán los términos de esa doble suma de cierta forma que luego será útil en las condiciones LMI: la suma convexa será negativa si todos los sumandos lo son.

La parte final del vídeo usa estas expresiones del bucle cerrado y las agrupaciones para plantear LMIs en una variable $P$ que acota el coste en función de las condiciones iniciales con $x_0^{T}P{x}_0$ si el conjunto de ganancias $K_j$ está calculado a priori, en lo que se conoce como condiciones LMI de análisis. Estas condiciones de análisis son usadas en un ejemplo numérico en el vídeo [lqrgsno] para comprobar si un cierto disen~o podría funcionar o no.

Nota: las condiciones de análisis presentadas son muy poco útiles, dado que ideas intuitivas como un disen~o ”separado” de $K_i$ en función de $A_i$ y $B_i$ son incorrectas, existiendo muchísimos contraejemplos en la literatura donde controladores ”individuales” óptimos son inestables al ser combinados; las ideas que explican los errores inherentes a este enfoque son ilustradas, mediante un ejemplo numérico, en el vídeo [lqrgsno]. Por ello, se enuncian simplemente a título pedagógico, para introducir conceptos que serán explotados y mejorados en las condiciones de síntesis que se discuten en el vídeo [lqrgs2], continuación y mejora de éste. Las condiciones de análisis aquí presentadas, pues, serán usadas con muy poca frecuencia.

Colección completa [VER]:

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