Mínimos cuadrados parciales [2]: Preparación de datos, PLS con entrada ortonormalizada (pre-blanqueada)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:48

Resumen:

Este vídeo discute el detalle de lo que se denominan mínimos cuadrados parciales ortonormalizados, donde la información de entrada a un modelo ha sufrido un cambio de variable de modo que su matriz de varianzas-covarianzas sea la identidad (ortonormalización, preblanqueado: si $X=U_x{S}_x{V}_x^T$, siendo $X$ la matriz de datos, entonces $X_{white}=\sqrt{N-1}{V}_x^T$ es la variable blanqueada buscada). En principio, ello no altera la capacidad de predecir $y$: si el estimador de mínimos cuadrados de $y$ es $\Theta x$, con un cambio de variable $x=T{x}_{new}$, el estimador será ${\Theta }^{\prime }\cdot x_{new}$, siendo ${\Theta }^{\prime }=\Theta T$, con el mismo resultado. Por tanto existe libertad total en elegir las unidades de $X$, en principio, y se escoge en PLS ortonormalizado una entrada preblanqueada.

Con estas entradas ortonormalizadas, el SVD de la matriz de covarianza $E(y{x}^T)=US{V}^T$ propone unas direcciones de $X$ dadas por $V$ que se asocian a las “covarianzas principales”, en la diagonal de $S$. La mejor predicción lineal de $y$ será $Sx$: unos componentes monovariables sin interacción (sin correlación cruzada) $y_i\approx {\sigma }_i{x}_i$, que cada uno contribuye a reducir la variabilidad total del error de predicción en ${\sigma }_i^2$. La propuesta PLS para obtener modelos “simplificados” es despreciar aquellos componentes con ${\sigma }_i$ pequen~os.

Al obtenerse direcciones en entrada y salida a partir del SVD de la covarianza, las direcciones PLS no coinciden con las del PCA (componentes principales) ni de la entrada ni de la salida, pensando en unidades originales de las mismas.

Existen otras interpretaciones del PLS (SIMPLS,...), discutidas en el vídeo [plss], que se aconseja ver a continuación de este, donde se hace una comparativa entre ellas y con PCR, para acabar de entender todas las ideas. Un ejemplo Matlab se aborda en el vídeo [plcvm].

Colección completa [VER]:

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