Mínimos cuadrados totales TLS: teoría

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 19:15

*Accede pulsando el enlace a la [ Colección completa] de vídeos docentes y materiales asociados.

Resumen:

Este vídeo discute el problema de mínimos cuadrados “totales” (total least squares, TLS, en la literatura en lengua inglesa) que resuelve el ajuste de un modelo $y=C\cdot x$, con medidas de $x$, $y$ pero considerando que ambas están corrompidas por ruido de desviaciones típicas ${\sigma }_x$, ${\sigma }_y$ respectivamente. En ese caso, los mínimos cuadrados estandard, esto es, $Ĉ=pinv(X)y$, son un estimador sesgado, esto es, con un error incluso en media (error sistemático).

La propuesta para resolver el TLS y obtener un estimado de $C$ no sesgado es formar la matriz de varianzas covarianzas de $(x,y)$ y restarle a dicha matriz una diagonal $blkdiag({\sigma }_x^{2}I,{\sigma }_y^{2}I)$.

*Si se hace escalado/normalizado de los datos para que la desviación típica del ruido de medida de $x$ e $y$ sean idéntico, entonces formando la matriz de datos con todas las muestras de $(x,y)$, y computando su SVD, el modelo TLS se asocia a las direcciones (filas de $U$) asociadas a los valores singulares más pequen~os. Esto está directamente relacionado con lo que se denomina análisis de componentes principales, discutido en otros vídeos de la presente colección.

Ejemplos Matlab de TLS aparecen en los vídeos [tlsm] y [tls51].