Procesos Estocásticos, proceso de Wiener: límite tiempo continuo de integrador en tiempo discreto

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 18:52

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Resumen:

En este vídeo se plantea describir un proceso contínuo como límite de un integrador en tiempo discreto $x_{k+1}=x_k+w_k$, cuando se acumula ruido en períodos infinitesimales de tiempo. Ese proceso es el “proceso de Wiener” o “movimiento browniano” unidimensional.

Se analizar, basado en la fórmula de la varianza de la suma de variables aleatorias por qué la varianza del incremento de $x$ debe ser igual al período de muestreo (desviación típica raíz cuadrada del período de muestreo), de modo que el proceso de Wiener verifica que, tendiendo el tiempo a cero (incrementos infinitesimales), sus incrementos $dx$ son variables aleatorias $dx\sim N(0,dt)$, distribución normal de media cero y varianza $dt$, desviación típica $\sqrt{dt}$.

Ejemplos Matlab de las ideas desarrolladas aquí se ilustran en el vídeo [wienermlab1], continuación de éste. Un análisis en detalle de diversas propiedades de este proceso y de la interpretación física se aborda en el vídeo [wienerprops].

Si en vez de un integrador puro se aplica la misma idea de límite a un proceso con otra dinámica, eso da lugar a la definición de las ecuaciones diferenciales estocásticas $dx=f(x)dt+g(x)dB$, con $dB\sim N(0,dt)$, analizadas en el vídeo [edostoch].