Respuesta temporal sistema primer orden con retardo: resolución por transformada de Laplace

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 12:29

Resumen:

Este vídeo obtiene, por métodos de transformada de Laplace, la respuesta ante escalón del sistema de primer orden con retardo $\frac{dy}{dt}+3y(t)=u(t-2)$. La respuesta con dsolve ya se abordó en el vídeo [dly1er1], así como un análisis “intuitivo” de por qué aparecen retardos y qué características tiene la respuesta. Si estás empezando en estos temas, te aconsejo ver el referido vídeo antes que éste.

La solución se aborda mediante dos métodos (equivalentes):

Primero, resolver la EDO sin retardo (por Laplace o por el método que queramos, realmente) y utilizar la idea de invarianza temporal de modo que podemos decir que la salida ante un retardo a la entrada de 2 unidades de tiempo será idéntica a la salida sin retardo en la entrada, excepto que se producirá 2 unidades de tiempo después. Por tanto, primero se hace una resolución del estilo de la hecha en el vídeo [ilaplaceex1], y luego se retrasa “manualmente” para incorporar la idea del retardo. Para representarlo gráficamente, se usa la Symbolic Toolbox, incorporando el comando heaviside en la descripción de la solución. El resultado, obviamente, coincide con el obtenido por dsolve en el primer vídeo arriba referido.

La segunda opción es incluir el retardo en las manipulaciones en el dominio de Laplace, utilizando el hecho de que la transformada de Laplace del operador retardo es $e^{-ds}$ siendo $d$ el tiempo de retardo. Al hacerlo, hay que manejar dicha exponencial de la variable de Laplace en la descomposición en fracciones simples hasta poder llegar a la transformada inversa donde debe expresarse adecuadamente como un retardo. Introduciendo exp(-2*s), la Symbolic Toolbox no tiene ningún problema en manipularlo y dar el resultado correcto en partfrac o ilaplace.

Obviamente, todas las opciones son equivalentes y obtienen resultado idéntico.

Las ideas de este vídeo, si se hacen simbólicamente sobre un proceso $\tau \frac{dy}{dt}+y=Ku$ dan lugar a las fórmulas teóricas del vídeo [ord1teo], populares en muchos libros de texto por su utilidad para describir rápidamente los transitorios de este tipo de procesos.

A veces, los retardos son consecuencia de formas de onda de entradas “a trozos”, como en el ejemplo resuelto en el vídeo [dly1erpul] (entrada pulso rectangular).

Colección completa [VER]:

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