Media y covarianza de las derivadas parciales (velocidad, gradiente) de un proceso estocástico

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 15:55

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Resumen:

Ciertos procesos estocásticos (de ”segundo orden” o superior, sea lo que sea eso, que en este momento no abordaremos) son diferenciables... esa derivada es, por ejemplo, la velocidad de una masa que se mueve sujeta a aceleraciones aleatorias; esa velocidad es un proceso estocástico. La posición es la integral de la velocidad, pero la velocidad es la derivada de la posición.

Definir formalmente la derivada de un proceso estocástico requiere cierto rigor (convergencia en probabilidad o en media cuadrática) pero, bueno, si hacemos “acto de fe” y creemos que entendemos lo que es la velocidad arriba mencionada, entonces a partir de las características estadísticas de la posición en media y varianza (función de covarianza) se pueden calcular las características de media y varianza, y covarianza velocidad-posición.

En un proceso estocástico $f(x)$ multivariable (no serie temporal $f(t)$ como antes parecía asumirse implícitamente), la idea se generaliza a estimar derivadas parciales de dicho proceso $f:{ℝ}^n\to ℝ$ (si existen), en media y varianza, a partir de $k(x,x^{\prime })$.

Este vídeo comprueba que el gradiente de la covarianza $k(x,x^{\prime })$ es la covarianza entre el proceso y su derivada, y que el hessiano (segundas derivadas) de la covarianza nos proporciona la covarianza entre las derivadas parciales en diferentes puntos.

La aplicación de estas fórmulas al caso de procesos estacionarios $k(x,x^{\prime })=\kappa (x^{\prime }-x)$ se discute en el vídeo [gradgpst].

Por supuesto, en series temporales también se podrían hacer operaciones con ecuaciones diferenciales estocásticas asociadas (por ejemplo, filtro de Kalman) o con la densidad espectral de potencia (caso estacionario).

Colección completa [VER]:

• Anterior   Estimación (interpolación, kriging) con procesos no estacionarios: Wiener, Integrated Wiener (ejemplo Matlab)

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