Planificación de ganancia interpolando diseños LQR lineales (método ERRÓNEO, como prueban las LMIs)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:59

Resumen:

Este vídeo plantea una posible solución (incorrecta) al problema de control de coste garantizado con planificación de ganancia en sistemas politópicos $ẋ={\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i(t)\cdot (A_{i}x+B_{i}u)$ que peca de ingenua: diseñar un controlador LQR para cada vértice y “mezclarlos” como se mezcla el proceso, interpolándolos con las mismas $h_i$.

En efecto, el planteamiento es erróneo, porque el bucle cerrado es un polinomio cuadrático en las variables $h$, y el “peor caso” no tiene por qué darse en los vértices; en el ejemplo en concreto que se aborda (usando el modelo del vídeo [modelgs]), efectivamente se encuentra un punto $h$ intermedio donde los polos son casi tres veces más lentos, y el coste el doble (calculado con la función lyap), que en el peor de los ocho vértices. Aparte, la posibilidad de variación de los parámetros en el tiempo implica que el peor caso será, posiblemente, aún peor de lo calculado para ese $h$ fijo.

Para comprobar de forma rigurosa la estabilidad y prestaciones de esta solución candidata se programan las LMIs de análisis (sólo $P$ en la función de Lyapunov $x^{T}Px$ es variable de decisión, siendo las $K_i$ de $u=-{\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i{K}_{i}x$ conocidas); el detalle de esas LMIs se analiza en el vídeo [lqrgs1].

En este ejemplo numérico concreto, las LMIs salen no factibles; ello significa que no se puede garantizar estabilidad en bucle cerrado para variaciones temporales arbitrarias de los parámetros del modelo. Es posible que otras LMIs pudieran, o que se pudiese garantizar dicha estabilidad si se supusieran determinadas cotas en la velocidad de variación de los parámetros, pero ambas cuestiones están fuera de los objetivos de este material introductorio... además, la misma teoría de control óptimo con LMIs sí que permitirá obtener soluciones factibles para el mismo modelo, como se discute en el vídeo [lqrgsml].

En resumen, el uso de técnicas de diseño de control vértice a vértice sin tener en cuenta la interacción se desaconseja, y este vídeo ilustra algunas de las razones por las que esta idea no debe ser usada... el planteamiento formalmente correcto es el del vídeo [lqrgs2].

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