Integración

De Moivre inició el desarrollo de la geometría analítica y de la teoría de la probabilidad . Él publicó la doctrina de la ocasión en 1718. La definición de la independencia estadística aparece en este libro junto con muchos problemas con los dados y otros juegos. Él también investigó la estadística de la mortalidad y la fundación de la teoría de anualidades.

En Miscellanea Analytica (1730) aparece fórmula de s de Stirling el ' (atribuido incorrecto a Stirling ) que de Moivre utilizó en 1733 derivar la curva normal como aproximación al binomial. En la segunda edición del libro en de 1738 Moivre da crédito a Stirling para una

mejora al fórmula.

Recuerdan a De Moivre también para su fórmula para (lechuga romana x + pecado de i x) n la cuál tomó la trigonometría en análisis.

A pesar de la eminencia científica de Moivre su renta principal estaba por matemáticas del curso particular y é murió en pobreza. Él, como el cardán , es famed para predecir el día de su propia muerte. Él encontró que él dormía 15 minutos más de largo cada noche y de esto la progresión aritmética , calculada que él moriría en el día que él durmió por 24 horas. ¡Él tenía razón!

· Introducción

Todos conocemos el cuerpo de los números reales: R, que fue creado ante la necesidad de calcular exactamente , ya que el conjunto Q de los números racionales era insuficiente.

Ahora bien, en este conjunto R, no se puede calcular exactamente, por ejemplo , pues no existe ningún número real cuyo cuadrado sea -4. De otra forma:

Si consideramos la ecuación polinomial:

;

debido a que no existe número real x alguno que la satisfaga, consideraremos, para resolver este tipo de ecuaciones, el cuerpo de los números complejos y lo denotaremos C.

· Definiciones

Definiremos un número complejo z como una expresión de la forma (x,y) donde x e y son números reales.

A la expresión:

z = (x,y)

la llamaremos forma cartesiana del complejo z, donde:

· x: parte o componente real de z, (Re(z)).

· y: parte o componente imaginaria de z, (Im(z)).

Así pues definiremos el conjunto de los números complejos como:

C = {(x,y) / x,y Î R}

· Casos particulares:

Si x = 0 ® al número complejo z= (0,y) lo llamaremos imaginario puro.

Al conjunto de los números IMAGINARIOS PUROS, se le denota con iR.

Si y = 0 ® al número complejo z= (x,0) lo llamaremos complejo real.

Por tanto R

· Estructura del conjunto de los Números Complejos:

(para obtener la información, pulsar aquí)

· Representación:

La notación z = (x,y) nos hace pensar en un punto; en efecto, si consideramos el plano euclídeo y en él un sistema de referencia ortonormal, a todo número complejo z le podemos hacer corresponder un punto P llamado AFIJO de z y viceversa

A este plano lo llamaremos plano complejo o diagrama de Argand y a los ejes: al horizontal: eje real y al vertical: eje imaginario.

Gracias a esto, podemos “identificar”, el conjuntos de los números complejos, C, con el plano euclídeo R².

· Valor absoluto o módulo de un número complejo:

Dado un complejo z =(x,y) , su módulo es el número real positivo:

|z| = .

El módulo de un número complejo, representa geométricamente la distancia del afijo de este número complejo, al origen de coordenadas.

· Argumento de un número complejo:

Dado z = (x,y) , se define su argumento, llamado arg(z), como: q = arctg(y/x). Si 0 £ q £ 2p se llama determinación principal o argumento principal, y se representa con Arg(z).

· Opuesto de un número complejo:

Dado el número complejo z=(x,y) se define su opuesto como -z=(-x,-y).

Geométricamente: supongamos para fijar ideas que x, y son positivos.

Observamos que sus afijos son simétricos respecto al origen, y que sus argumentos difieren en un múltiplo impar de p radianes:

Si el argumento de z es q y el de su opuesto j:

· Complejo conjugado:

El conjugado de un número complejo z = (x,y), es (x,-y), y se denota por , o z*.

Al igual como antes, supongamos que x, y >0.

Observamos que sus afijos son simétricos respecto

al eje x , y que sus argumentos son opuestos.

Si el argumento de z es q y el de su opuesto j:

Evidentemente, podemos observar en el dibujo, que z y , tienen el mismo módulo.

· Exponencial Compleja

Se define la exponencial compleja o imaginaria e^iq, q Î R, i: unidad imaginaria, como:

Todo número complejo se puede expresar en forma exponencial; sea z=(x,y); .

Fórmula de Euler

AVISO: Sabemos por trigonometría, que dado un valor de la tangente de un ángulo, podemos encontrar, salvo vueltas de circunferencia, dos ángulos con la misma tangente (los del I^er y III^er cuadrante si la tangente es positiva, y los del II y IV cuadrante si es negativa). Por eso, deberemos saber qué argumento es el adecuado para el número complejo con el que estemos trabajando, y eso vendrá dado por el cuadrante en el que se encuentre el afijo de dicho número.

· Propiedades de la exponencial compleja:

Notar que la función exponencial compleja no es inyectiva.

· Fórmula de De Moivre

Dado q Î R;

Dem: Por inducción:

n=1 cierto

Supongo cierto para n=k

Para k+1:

La aplicación de la fórmula de de Moivre en forma polar sería:

y en forma exponencial:

· Formas de expresión de un número complejo

Hasta el momento hemos considerado un número complejo como un par de números reales ordenados (x,y) , pero hay otras formas de representarlo.

FORMA BINÓMICA: z = x + y i

donde x, y son reales; i representa la unidad imaginaria: con la propiedad de que

FORMA TRIGONOMETRICA:

FORMA POLAR z = m_q

FORMA EXPONENCIAL: z = me^{i^q}

Ejercicio: Utilizando la fórmula de de Moivre, calcular: en forma binómica.

· Fundamentos de los complejos

Es conveniente definir un número complejo como un par ordenado de números reales x e y, sometida a ciertas definiciones operacionales.

Sean z₁ = (a,b), z₂ = (c,d) dos números complejos.

· IGUALDAD: z₁ = z₂

F. Cartesiana z₁ = (a,b), z₂ = (c,d)	a,b) = (c,d) a = c; b = d
F. Binómica z₁ = a + bi, z₂= c + di	a+b i = c+d i a=c;b=d
F. Polar z₁ = m_J, z₂= n_j
F.Trigonométrica z₁ = m(cos(J) + isen(J)) z₁ = n(cos(j) + isen(j))
F. Exponencial z₁ = me^{i^J}, z₂= ne^{i^j}

Notar que, geométricamente: dos números complejos son iguales si sus afijos coinciden.

· SUMA: z₁ + z₂ RESTA z₁ - z₂

F. Cartesiana z₁ = (a,b), z₂ = (c,d)	(a,b) ± (c,d) = (a ± c, b ± d)
F. Binómica z₁ = a + bi, z₂= c + di	(a+bi) ± (c+di) = (a ± c)+(b ± d)i

· PRODUCTO: z₁ * z₂

F. Cartesiana z₁ = (a,b), z₂ = (c,d)	(a,b)* (c,d) = (ac-d,ad+bc)
F. Binómica z₁ = a + bi, z₂= c + di	(a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
F. Polar z₁ = m_J, z₂= n_j	m_J* n_j = (m*n)_J₊ _j
F.Trigonométrica z₁ = m(cos(J) + isen(J)) z₁ = n(cos(j) + isen(j))	m(cos(J) + isen(J)) * n(cos(j) + isen(j)) = m * n(cos(J + j) + isen(J +j))
F. Exponencial z₁ = me^{i^J}, z₂= ne^{i^j}	(m * n)e^{i(^J}^⁺^{^j}⁾

· COCIENTE z₁ / z₂z₂ ¹ 0

F. Cartesiana z₁ = (a,b), z₂ = (c,d)
F. Binómica z₁ = a + bi, z₂= c + di
F. Polar z₁ = m_J, z₂= n_j
F.Trigonométrica z₁ = m(cos(J) + isen(J)) z₁ = n(cos(j) + isen(j))
F. Exponencial z₁ = me^{i^J}, z₂= ne^{i^j}

· Propiedades

Si z₁, z₂,...,z_mson números complejos, son válidas las siguientes propiedades:

· Raíces de ecuaciones polinómicas

Llamaremos ecuación polinómica de grado n, con coeficientes complejos, a una ecuación de la forma:

A las soluciones de esta ecuación las llamaremos ceros o raíces.

Según el Teorema fundamental del Algebra: una ecuación de la forma anterior (con coeficientes complejos) tiene al menos una raíz compleja. O lo que es equivalente: n raíces complejas incluida la multiplicidad. Según esto, podré expresarla de la forma:

a_n (z-z₁)(z-z₂)...(z-z_n) = 0 z_i : raíz

· Caso particular:

Vamos a analizar una ecuación de la forma:

zⁿ - d = 0 donde z,d Î C

Sea el número complejo d = a + bi y n un número natural no nulo. Se dice que el número complejo z es raíz n-ésima de d si se verifica que:

zⁿ = d (se escribe ).

En general, todas las raíces n-ésimas de un número complejo cualquiera se calculan expresando dicho número en forma trigonométrica, siguiendo la fórmula:

donde k toma todos los valores entre 0 y n-1.

Así pues, todo número complejo tiene n raíces complejas distintas, cuyos módulos son iguales a la raíz n-ésima del módulo del radicando, y cuyos argumentos difieren en 2p /n a partir de la n-ésima parte del argumento del radicando.

Dem:

de donde, por la igualdad de dos números en forma polar:

· Interpretación Geométrica

Como un número complejo x + iy se puede considerar como una pareja ordenada de números reales, podemos representar estos números por puntos en un plano xy, llamado el plano complejo o diagrama de Argand. Así, a cada número complejo corresponde uno y solamente un punto en el plano, salvo un múltiplo entero de 2 en cuanto al ángulo o fase, y recíprocamente, a cada punto en el plano corresponde uno y solamente un número complejo.

A causa de esto, a menudo mencionaremos al número complejo z como al punto z, nos referiremos a los ejes x e y como a los ejes real e imaginario respectivamente y al plano complejo como al plano z.

· Distancia entre dos números complejos.

La distancia entre dos puntos z₁ = x₁+iy₁ y z₂ = x₂+iy₂ en el plano complejo está dada por:

· Representación de las raíces n-ésimas de un número complejo.

Sabemos ya que todo número complejo tiene n raíces complejas distintas, cuyos módulos son iguales a la raíz n-ésima del módulo del radicando, y cuyos argumentos difieren en 2p /n a partir de la n-ésima parte del argumento del radicando.

A todo número complejo z le podemos hacer corresponder un punto P llamado afijo de z cuyas coordenadas (x, y) en un sistema de referencia ortonormal en el plano euclídeo son las componentes de z.

Llamando R al afijo del número complejo z = m_q , los afijos de las n raíces están situados en la circunferencia de centro 0 y radio y separados unos de otros por arcos que difieren en 2p /n a partir del primer argumento.

En el ejemplo siguiente los puntos A, B, C son los afijos de las tres raíces

· Funciones elementales:

· Función exponencial:

Dado z = x + iy perteneciente a C se define la función exponencial compleja de la siguiente forma:

a). Es periódica, de periodo 2pi

b). Es holomorfa en todo C, siendo su derivada ella misma.

· Funciones trigonométricas/hiperbólicas:

Función	Derivada
	-sen(z)
	cos(z)
	senh(z)
	cosh(z)

· Función Logaritmo:

Dado un número complejo z = m_q , se define la función logaritmo compleja como:

k Î Z

Log(z)=ln|z| + i (Arg(z) +2kp) z ¹ 0

donde ln|z| es el logaritmo neperiano del número real |z|, ( y por lo tanto es la función logaritmo real de variable real, ya conocida) Arg(z) Î [0,2p[ es el argumento principal de z.

Si el argumento del número complejo es menor que 2p en valor absoluto, llamaremos al logaritmo correspondiente valor principal del logaritmo. Todos los demás valores del logaritmo se obtienen sumando al valor principal múltiplos de 2p i.

· Potencias de base y exponente complejo:

Se define la potencia de base z = m_q y exponente t = a+ bi del siguiente modo: