·  Derivada de una función en un punto

· Interpretación geométrica de la derivada

· Derivabilidad a la derecha (a la izquierda)

· Función derivable en un intervalo

·Propiedad

· Tabla de derivadas

· Ecuación de la tangente a una curva

· Reglas de derivación

· Propiedades de las funciones derivables

· Teoremas relativos a funciones derivables

ISAAC NEWTON

 Nació en 1642, falleció en 1727.

 Físico y matemático inglés. Newton fue uno de los más grandes matemáticos, comparable a Arquímedes y Gauss. Su más extraordinaria aportación fue el cálculo infinitesimal o, dicho en términos más concretos , la invención de la derivada y de la integral. De hecho, ya a los 26 años, Newton había presentado a su maesto Barrow un opúsculo resumido donde señalaba las líneas maestras de este cálculo.

Enemigo como era de dar a conocer sus descubrimientos, Newton no publicó sus trabajos hasta muchos años después: con ello la primacía histórica le corresponde a Leibniz; aunque lo cierto es que ambos genios desarrollaron sus ideas independientemente el uno del otro.

GOTTFRIED WILHELM VON  LEIBNIZ

 Nació en 1646 en Leipzig, falleció en Hannover en 1716.

Fue, como Newton, uno de los creadores del cálculo infinitesimal. Intelectualmente fue muy precoz, hasta el punto de no poder presentar su tesis doctoral por contar tan sólo con 20 años.

La lógica era para Leibniz un lenguaje universal. Su principio de que “las cosas son como números” expresa el modo en que su concepción de la naturaleza está tamizada por el deseo de claridad y sistematicidad propios de un matemático. En el fondo, esta búsqueda de un conocimiento universal ordenado obedecía a una idea muy simple: la de que una mejor comprensión de la riqueza de aspectos del mundo redundaría en el testimonio de la sabiduría divina.

Históricamente el concepto de derivada surgió al estudiar el de pendiente de una curva y=f(x) en uno de sus puntos (x₀,y₀).

 ·    Derivada de una función en un punto

    Sea f(x) una función, y sea x₀ un punto de su campo de existencia. Definimos:

Derivada de una función en un punto como el límite, en caso de existir, del incremento de la función dividido por el incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero. 

Cociente incremental o incremento medio de una función es el cociente entre el incremento de la función por el correspondiente incremento de la variable independiente, es decir:  

Cuando una función f tiene derivada en cada punto x₀ de un cierto intervalo J, se establece una cierta correspondencia entre los valores de x y los de la derivada, resultando una nueva función llamada función derivada de f.  

f(x) se llama a su vez función primitiva de f’(x).

Barrow fue el primero en reconocer que la integración y la diferenciación son operaciones inversas.

  ·      Interpretación geométrica de la derivada

  Pendiente de una curva en un punto es la derivada de su función representativa en dicho punto.

Comprobar

Si el punto P₁  tiende al punto P₀ , es decir, cuando Dx®0, la recta secante s=P₀P₁ (trazo verde), toma otras posiciones que supondremos tienen como posición límite una recta (la tangente t=P₀Q ) que se llama tangente en el punto P₀  de la curva (trazo fucsia).

Entonces, el ángulo que forma la secante s=P₀P₁ (trazo verde) con el eje OX y que hemos llamado a₁, tiende a a, que es el ángulo que forma la tangente t=P₀ Q con el eje OX.   

La pendiente de s:

La pendiente de t:

·      Derivabilidad a la derecha (a la izquierda)

     Una función f(x) es derivable a la derecha en un punto x₀ si existe y es finito el siguiente límite  

Una función f(x) es derivable a la izquierda en un punto x₀ si existe y es finito el siguiente límite  

 Notar que si una función f(x) es derivable en un punto x₀, se debe cumplir:

 ·      Función derivable en un intervalo

Una función y = f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se dice que es derivable en él, si cumple: 

¨Derivable en cada uno de los puntos del intervalo ]a,b[

¨Derivable a la derecha del punto a.

¨Derivable a la izquierda del punto b.  

 · Propiedad

¨ Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. El recíproco no es cierto, pues hay funciones que son continuas pero no son derivables.

· Tabla de derivadas

· Ecuación de la tangente a una curva

De la ecuación

se deduce que para cualquier punto P(x,y) de la secante P₀P₁  se verifica

Análogamente, de

se deduce:

     Siendo (x,y) las coordenadas de un punto cualquiera P de la tangente en  P₀, se deduce la ecuación de dicha tangente:  

· Reglas de derivación

Supongamos en todo este apartado, dos funciones f(x) y g(x) derivables en un punto x. 

·        Derivada de la suma y la resta

·        Derivada del producto

 Y utilizando las fórmulas de trigonometría: 

  ·        Derivada del cociente

Si g(x) ¹ 0:

    Y utilizando las fórmulas de trigonometría: 

    También podemos expresarlo del siguiente modo: 

 ·        Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena.

    Si g(x) es derivable en el punto x; si u=g(x) y f(u) es derivable en el punto u, entonces, la función compuesta y=f(g(x)) es derivable en x  y su derivada es:

 ·        Derivada de la integral de una función.

    La derivada de la integral de una función f es la misma función f.  

 Nota: De igual forma, la integral de la derivada de una función f, es, salvo constante, la misma función f.

 Ejercicios:  

  ·        Derivada logarítmica de una función.  

La derivada logarítmica de una función derivable f(x) es la derivada de su logaritmo neperiano.

 Sea

y = f(x), derivable,

           Aplicamos logaritmos neperianos a los dos miembros:

ln(y) = ln(f(x)) con f(x) > 0. 

Seguidamente, derivamos, aplicando la regla de la cadena

 · Algunas derivadas de orden superior.

    Si una función y = f(x) admite derivada y’=f(x), y si esta función es a su vez derivable, es decir, que admite derivada, a esta nueva función se le llama derivada segunda de y = f(x) y se indica y’’(x) o simplemente

y’’=f’’(x) 

Análogamente, pueden existir las derivadas tercera, cuarta, quinta, … de una función

y''' = f'''(x), y'^v = f'^v (x),..., y⁽ⁿ⁾ = derivada n-ésima

·        Fórmula de Leibnitz

Permite obtener la derivada n-ésima de un producto de funciones, mediante las derivadas sucesivas de las funciones factores.

Las siguientes expresiones se denominan números combinatorios.

·      Propiedades de las funciones derivables  

·        Función estrictamente creciente 

Una condición suficiente para que una función f(x) definida en un intervalo abierto ]a,b[ y derivable en un punto c de dicho intervalo sea estrictamente creciente en c es que f'(c) > 0.  

·        Función estrictamente decreciente 

            Una condición suficiente para que una función f(x) definida en un intervalo abierto ]a,b[ y derivable en un punto c de dicho intervalo sea estrictamente decreciente en c es que f'(c) < 0

·       Máximo de una función

Si una función tiene un máximo en un punto c y es derivable en dicho punto, entonces f'(c) = 0.  

·       Mínimo de una función

Si una función tiene un mínimo en un punto c y es derivable en dicho punto, entonces f'(c) = 0.  

  Dada una función f(x) definida en un intervalo ]a,b[, y que admite derivadas sucesivas en los puntos de ese intervalo, para determinar qué puntos corresponden a máximos, mínimos, etc, se hallan las raíces de la ecuación

     Supongamos que c es una de esas raíces.

  a). La función f(x) tiene un máximo relativo en c si 

            § f'(x) pasa de ser creciente a la izquierda de c

                 a decreciente a su derecha o bien f''(c) < 0.

  b). La función f(x) tiene un mínimo relativo en c si 

            § f'(x) pasa de ser decreciente a la izquierda de c

                 a creciente a su derecha o bien f''(c) > 0.

  c). La f'(x) no cambia de signo en un entorno de c diremos

         que c es un punto de inflexión.

  Una función f(x) definida y derivable (admite derivadas primera, segunda y tercera) en un intervalo abierto ]a,b[ tiene una inflexión en el punto c de dicho intevalo si en ese punto, f(x) pasa de cóncava a convexa o viceversa, es decir, si en c, se cumple f''(c)=0 y f''(x) cambia de signo al pasar de izquierda a derecha del punto c.

·      Teoremas relativos a funciones derivables

·       Teorema de Rolle

  ·       Teorema de Cauchy

·       Teorema de los incrementos finitos, Teorema de Bonnet-Lagrange o Teorema del valor medio 

Nota: Si f(x) una función definida y continua en [a,b] y derivable en ]a,b[, con derivada nula, entonces f(x) es constante en [a,b].  

·       Teorema fundamental del cálculo integral

·       Regla de L'Hopital para el caso indeterminado

Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas y continuas en el intervalo [x₀-d , x₀+d], d > 0 y derivables en el mismo intervalo salvo en x₀, de forma que f'(x) y g'(x) no se anulan simultáneamente en él.  

Si f(x₀) = g(x₀) = 0, g(x) ¹ 0 para x Î [x₀-d , x₀+d] - {x₀}, y existe , entonces existe y se verifica:

Nota: Esta regla, con ciertas condiciones, también se puede aplicar en los casos