DETERMINANTES

 

· Introducción

· Determinante, definición

· Determinante de matrices elementales

· Menor complementario

· Fórmula de expansión de Laplace

· Estudio del rango de una matriz por determinantes

· Polinomio de interpolación

· Ejercicios resueltos

 

Temas relacionados:

Matrices

·      Introducción

Las matrices nacieron más de cien años después que los determinantes, de hecho fue Sylvester quien llamó al término matriz la “madre de los determinantes”. La mayor parte de los historiadores destacan a Leibniz y a Newton como origen de la teoría de los determinantes, pero hay quienes creen que fue Seki Kowa.

 

TAKAKAZU SEKI KOWA (1642-1708)

Takakazu Seki nació en una familia de guerreros samurais, pero fue adoptado pronto por una familia noble. Niño prodigio en matemáticas y  autodidacta, fue guiado en sus estudios por un criado de la casa. Se le conocía como “el sabio aritmético”, término que fue tallado posteriormente en su piedra sepulcral. En 1674 publicó “Hatsubi Sampo”, libro en el cuál solucionó 15 problemas que habían sido propuestos cuatro años antes. Estudió determinantes en 1683, 10 años antes que Leibniz. Seki también descubrió los números de Bernoulli antes de Jacob Bernoulli . También estudió  las ecuaciones que trataban raíces positivas y negativas sin tener ningún concepto de números complejos.

En 1685,  solucionó la ecuación cúbica  usando el mismo método que Horner cientos de años más adelante. Descubrió también el llamado método de Newton-Raphson para solucionar ecuaciones. El secreto rodeó las escuelas en Japón así que es difícil determinar las contribuciones hechas por Seki. 

 

AUGUSTIN-LOUIS BARÓN DE CAUCHY

(1789-1857)

 

Matemático francés, uno de los especialistas más insignes de su tiempo. Publicó numerosas investigaciones sobre teoría de funciones de variable compleja, series, interpolación, ecuaciones diferenciales y cuestiones de física, matemática y astronomía. Aparte de numerosas investigaciones, publicó un Tratado de cálculo diferencial e integral y un Curso de análisis, obras en las cuales se hallan sus principales ideas. Fue profesor de la Escuela Politécnica y del Colegio de Francia.

En 1812 escribió una memoria que contenía la primera demostración del teorema

Det(ab)=Det(A) Det(B)

En 1840, Cauchy describió la ecuación característica de la matriz A como el polionomio .

CHARLES LUTWIDGE DODGSON

(1832-1898)

Charles Lutwidge Dodgson es mejor conocido por el seudónimo "Lewis Carroll". Aunque él era matemático, fue conocido como el autor de las aventuras de “ Alicia en el país de las maravillas” (1865). Para sus trabajos matemáticos usó su propio nombre pero para los libros de cuentos inventó el nombre "Lewis Carroll" traduciendo sus primeros dos nombres "Charles Lutwidge" en latín como "Carolus Lodovicus", y después inglesando e invirtiendo su orden.

En 1867 escribió “An Elementary Theory of Determinants”, donde da condiciones para que los sistemas de ecuaciones tengan soluciones no triviales. Dichas condiciones se expresan en términos de los determinantes de los menores de las matrices de coeficientes.  

·      Determinante

    El determinante no es más que una aplicaeción que va desde el conjunto de las matrices cuadradas de orden n al conjunto de los números reales

Ejemplo: cálculo del determinante de una matriz de orden 2:

 

 Propiedades: 

1). El determinante cambia de signo cada vez que se intercambian dos filas.

2). El determinante es una función lineal (*) de la fila i-ésima.

3). Det( )=1                         

 

(*)Función lineal          f: E--->F es lineal si

                          f(x+y)=f(x)+f(y)

                          f(kx)=kf(x)

 

Ejemplo: es una función lineal de la primera fila:

 

Nota: Esto no quiere decir que

 

Det(A+B)=Det(A)+Det(B)     Esto es falso

 

 

Ejemplo: cálculo del determinante de una matriz de orden 3:

 ·        Propiedades

Sea una matriz Anxn kÎR 

1). Si A tiene dos filas (o columnas) iguales, su determinante es nulo.

2). Si A tiene una fila (o columna)  de ceros, su determinante es nulo.

3). Las operaciones elementales de tipo 3 no varían el valor del determinante.

4). Si en A, una fila (o columna) es combinación lineal (*) de las demás, su determinante es nulo.

5). El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal. Es decir:

6). El determinante de una matriz triangular superior  es el producto de los elementos de la diagonal principal. Es decir:     

Idem triangular inferior.

7). det(KA) = Kn det(A)

8). El determinante de una matriz cuadrada es único.

 

Nota:  Decir que una fila, por ejemplo F1 , es combinación lineal de las demás significa que existen escalares (números reales)

·        Teorema de Binet-Cauchy 

Anxn, Bnxn  ®  Det(AB) = Det(A) Det(B)

·        Teorema   

Anxn      invertible    «     Det(A)  ¹  0

·   Determinante de matrices elementales 

Si E matriz elemental de tipo 1, (resultante de realizar sobre la matriz identidad una permutación de filas)  

Det(E)=-1

Ejemplo:

 

Si E matriz elemental de tipo 2, que resulta de multiplicar una fila en la matriz identidad por un escalar k  

Det(E)=k

Ejemplo:

 

Si E matriz elemental de tipo 3, que resulta de multiplicar en la matriz identidad, una fila por un escalar k y sumar el resultado a otra fila, entonces el determinante no varía

Det(E)=1

Ejemplo:

 ·        Proposición  

Si E es una matriz elemental de tipo: 1, 2 ó 3, entonces   

·        E, tipo 1

E es simétrica, por tanto E = ET. Además: E-1 = E = ET

Si aplicamos determinantes:

·        E tipo 2,

E es diagonal por tanto E = ET

Si aplicamos determinantes:

   y        

·        E tipo 3 El valor del determinante con operaciones de tipo 3  no varía,

ET es del mismo tipo que E, con lo cual Det(ET)=1 y Det(E-1)=1

·        Proposición

Si A es una matriz de tamaño mxn, entonces

 

·        Regla de Cramer:

        Consideremos el sistema Ax=b, donde A es invertible. Entonces la solución viene dada:

           

 

·   Menor complementario

Sea una matriz Anxn , llamaremos MENOR COMPLEMENTARIO A(i,j) al determinante de la matriz de tamaño (n-1)x (n-1) que resulta de suprimir la fila i y la columna j; lo denotaremos Mij (A).

 ·        Cofactor  

Se define COFACTOR (i,j) de una matriz Anxn  como el menor correspondiente afectado de signo, es decir:

 Notar que al término (-1)i+j  se le llama signatura.

 

·   Fórmula de expansión de Laplace

 ·        Desarrollo por la fila i-ésima, columna j-ésima

                   

·        Matriz adjunta

La matriz adjunta de una matriz Anxn, denotada   Adj(A), es aquélla cuyo elemento (i,j) es el cofactor (j,i) de A.

Nota: algunos autores definen la matriz adjunta de A como la matriz traspuesta de la definida anteriormente.

·        Matriz de Vandermonde 

 Diremos que una matriz es de Vandermonde si es de la forma:

        El valor del determinante de una matriz de Vandermonde (llamado determinante de Vandermonde) viene dado por la siguiente fórmula.

·   Estudio del rango de una matriz por determinantes

        Si bien en el tema correspondiente de sistemas de ecuaciones lineales definíamos el rango de una matriz A como el número de unos principales de su forma escalonada (o escalonada reducida), vamos a dar una definición paralela.

         Definiremos el rango de una matriz de tamaño mxn como el orden del mayor menor no nulo. 

Ejemplo:

Estudiamos los menores de orden 3, hasta que alguno de distinto de cero , luego el rango es tres.

 

·   Polinomio de interpolación 

Supongamos que los n pares de datos (x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)  cumplen que los valores de xi  son todos distintos. Entonces existe un único polinomio de grado menor o igual que n-1, tal que p(xi)=yi, para i=1,2,...,n.

 Este sistema tiene como matriz de coeficiente la matriz de Vandermonde.

 

·   Ejercicios resueltos 

1.       Calcula el valor de los siguientes determinantes aplicando operaciones elementales y las propiedades relacionadas con ellas.

Solución:

        Aplicando la propiedad de que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal, queda:

 

2). Resuelve las siguientes ecuaciones:

 Solución: