MATRICES

 

    · Introducción

    · Igualdad de matrices

    · Tipos de matrices

    · Operaciones con matrices

    · Matrices elementales

    · Matrices inversas

    · Rango

    · Descomposición L U de una matriz

    · Ejercicios resueltos

 

Temas relacionados:

Resolución de ecuaciones, Sistemas de ecuaciones lineales 

·  Introducción

ARTHUR CAYLEY (1821-1895)

 

Nació en Richmond  (Inglaterra) en 1821. Se atribuyen a Cayley las reglas que indican cómo se suman y multiplican las matrices. Compaginó durante varios años sus estudios de matemáticas y el ejercicio de la abogacía hasta 1863 que ocupó la cátedra Sadleriana, pudiendo, desde entonces dedicar todo su tiempo a las matemáticas.

Cayler se considera el tercer escritor más prolífico de matemáticas, siendo superado sólo por Euler y Cauchy. Hizo importantes contribuciones a la geometría analítica, la teoría de los determinantes, la teoría de las curvas y superficies, …

Poseía una memoria asombrosa además de un temperamento ecuánime, cualidades por las que fue llamado “el matemático de los matemáticos”. Fue gran aficionado de la lectura de novelas, las cuales leía mientras viajaba, mientras esperaba a una reunión, ….

Las matrices surgieron con Cayley al trabajar con transformaciones lineales del tipo:

·   Igualdad de matrices

        Denotaremos una matriz como Am´n o A Î Mm´n(K) donde K es un cuerpo, generalmente K=R o K=C.

        Dos matrices A, B son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementos que ocupan los mismos lugares coinciden.

 

·   Tipos de matrices

 ·        Matriz cuadrada

        Si el número de filas es igual al de columnas; su tamaño es nxn (orden n)

         Caso particular: las matrices diagonales que son aquellas que tienen nulos los elementos situados fuera de la diagonal principal.

·        Matriz columna

 

        Matriz de tamaño nx1

 

·        Matriz fila

 

        Matriz de tamaño 1xn

 

·        Matriz identidad

        Es una matriz cuadrada que tiene los elementos de la diagonal principal iguales a la unidad y el resto de elementos son nulos.

  

·        Matriz triangular superior (t.s.)

        Es aquella con elementos nulos por debajo de la diagonal principal

·        Matriz triangular inferior (t.i. )

        Es aquella con elementos nulos por encima de la diagonal principal

1). El producto de matrices t.s. (t.i.) es t.s. (t.i.)

2). La inversa (*) de una matriz triangular (sea t.s. ó t. i.) en caso de existir, es también triangular (sea t.s. ó t. i.).

(*)Se verá más tarde

·        Matriz transpuesta

Dada Am´n llamaremos matriz transpuesta de A (o traspuesta) a la matriz que resulta de cambiar las filas por las columnas, la representaremos por AT.  

·        Matriz simétrica 

Si cumple  AT = A

Nota: necesariamente debe ser cuadrada. 

·        Matriz antisimétrica

Si cumple  -AT = A

 Nota: necesariamente debe ser cuadrada y los elementos de la diagonal principal deberán ser nulos. 

·   Operaciones con matrices 

·        Suma de matrices

    Para sumar dos matrices deberemos tener en cuenta que sean del mismo tamaño.

Propiedades:

Conmutativa:

Asociativa:   

Elemento neutro (es único):

Elemento simétrico (es único):

A + B = B + A

(A+B) + C = A + (B+C)

La matriz nula O

para una matriz A es -A / A + (-A) =O

 

·        Producto por escalar

Propiedades:

Sean Am´n, Bm´n, Cm´n, p,q Î R compatibles para las operaciones a realizar 

Distributiva del producto por escalar respecto

      de la suma:

Distributiva del producto por escalar respecto

      de la suma de escalares:

Asociativa del producto por un escalar:

Existencia de elemento neutro para la multiplicación por escalar:

P (A+B) = pA+pB

 

(p+q) A = pA+qA

(pq) A=p (qA)

 

1 A=A

·        Producto de matrices

        Para multiplicar dos matrices A y  B el número de columnas de A deberá ser igual al número de filas de B.

      Sean A, B, C, D compatibles para las operaciones a realizar

 

1. Asociativa  

(A B) C=A (B C)

2. Distributiva del producto respecto a la suma de matrices por la izquierda  

A (B+C)=A B+A C  

3. Distributiva del producto respecto a la suma de matrices por la derecha  

(B+C) D=B D +C D  

4. Asociativa del producto por escalar y el producto de matrices 

k (A B)= (k A) B=A (k B)  

 

En general, el producto de matrices no es conmutativo.

 

Dos matrices A y B conmutan

 

 Aplicando la distributiva

 

 

Teorema

                   

 

 

Teorema:

 

· Matrices elementales    

        Una matriz cuadrada de tamaño nxn se dice que es una matriz elemental de tipo I, si es el resultado de aplicar sobre la Identidad una operación elemental de tipo 1.

        Idem tipos 2, 3. Representaremos estas matrices con la letra E.

        Realicemos una operación elemental sobre una matriz A y a la matriz resultante llamémosla R. Seguidamente realizamos la misma operación elemental sobre la identidad, y el resultado es una matriz elemental llamada E. El resultado de premultiplicar la matriz A por la matriz elemental E es la matriz R.  

EJEMPLO:

      Si realizamos n operaciones elementales sobre una matriz A, y a la matriz resultante la llamamos R,  y cada matriz elemental la representamos por Ei , la matriz resultante de premultiplicar la matriz A por las matrices elementales será R.

· Matrices inversas

Sea Anxn, se dice que Bnxn es una inversa de A si  

AB=BA = Inxn   

·        Una matriz con una fila de ceros no tiene inversa

·        Si una matriz tiene inversa, ésta es única

      Veamos algunas propiedades más de matrices invertibles.

1). Si A es invertible, entonces A-1 también es invertible y      

(A-1)-1 = A 

2). Si A y B son invertibles, el producto también lo es:  

(AB)-1 = B-1A-1

        En cambio, si una de las dos no es invertible, el producto tampoco  

3). Si A es invertible y k ¹ 0         (kA)-1 = k-1A-1        

4). Si A es invertible, también lo es AT y     (AT)-1 = (A-1)T

5). Si Anxn y Bnxn  / AB = Inxn  Þ A = B-1   y    B = A-1 

Si A es invertible

Este criterio suele aplicarse para los S.E.L. completos: 

Si

 

Si por el contrario:

Este criterio suele aplicarse en los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

 

·        Aplicación

Como hemos visto anteriormente, si realizamos n operaciones elementales sobre una matriz A, la resultante será

        Vamos a llamar T a la matriz transformación que resulta del producto de las n matrices elementales.

 

        En forma de algoritmo:

   

Si R fuese la matriz identidad, la matriz T sería la inversa de A.

·        Inversas de las matrices elementales

 

Todas las Ei son invertibles y su inversa es del mismo tipo, por tanto la matriz T, definida anteriormente,  también será invertible.

 

·        Inversas de las matrices triangulares

     Sea Anxn una matriz t. s. (análogamente t. i.).

· Rango 

Llamaremos rango de una matriz A al número de unos principales de su forma escalonada (f.e.) ó su forma escalonada reducida (f.e.r.).  

Teorema  

Si Anxn Equivalen:

1). A invertible

2). rg(A)=n

3). A se puede transformar en In  mediante operaciones elementales

4). A es producto de matrices elementales.

5).

Corolario

1). A es invertible

2). La f. e. de A es  

3). La f.e.r. de A es

4). El sistema homogéneo AX=O sólo admite la solución trivial

 

5). El sistema AX=b es C.D

· Descomposición L U de una matriz

Toda matriz Amxn se puede expresar como producto de dos matrices L y U, donde:  

·        U es una matriz triangular superior, de tamaño m x n y resultante de aplicar sobre la matriz A sólo operaciones del tipo 3.

·        L es una matriz triangular inferior, de orden m, cuyos elementos en la diagonal principal son iguales a 1, y cuyos elementos por debajo de la diagonal principal se obtienen a partir de las operaciones elementales del tipo 3 realizadas sobre la matriz A para obtener U. Por ejemplo, si hemos realizado la operación F21(-3), la operación inversa sería F21(3), por tanto el elemento (2,1) de la matriz L sería igual a 3.

·   Aplicación

    Queremos resolver un sistema

AX = b

A = LU Þ   (LU)X = b     

aplico la propiedad asociativa:  

L(UX) = b     

Llamo

·        El sistema UX=C es triangular superior y lo resolveremos fácilmente por sustitución regresiva.

·        El sistema LC=b es triangular inferior y lo resolveremos fácilmente por sustitución progresiva.

      Así pues, hemos logrado descomponer el sistema inicial en dos sistemas mucho más simples de resolver.

· Ejercicios resueltos

1) Calcula T para que T·A=R, siendo R la forma escalonada reducida de A.

Solución:

a).

b).

 

2) Halla la descomposición LU de la siguiente matriz:

Solución:  

      Recordemos que para obtener la matriz U, sólo podemos realizar sobre la matriz A operaciones elementales del tipo 3.

      Comprobación:

 

 

3)  Calcula la matriz inversa, si existe de las siguientes matrices:

Solución:

        En este caso, la matriz A no es invertible.