· Introducción

    · Producto escalar

    · Matriz de Gram

    · Norma o módulo de un vector

    · Ángulo y distancia entre dos vectores

    · Ortogonalidad

    · Subespacio ortogonal

    · Algoritmo de Gram-Schmidt

    · Proyección ortogonal

    · Ejercicios resueltos

·      Introducción 

Hermann Amandus Schwarz

Nació el 25 de enero de 1843 en Polonia y murió el 30 de noviembre en Alemania.

En 1866 Weierstrass estableció un puente entre la teoría de superficies y la teoría de funciones analíticas.

 Schwarz había hecho una contribución importante en 1865, descubrió lo que ahora se conoce como la superficie mínima de Schwarz.

Schwarz contestó a la cuestión de si una superficie mínima dada realmente tiene un área mínima. Una idea de este trabajo, en el cual construyó una función usando aproximaciones sucesivas, condujo Emile Picard a su prueba de la existencia para las soluciones de ecuaciones diferenciales .

También contiene la conocida como desigualdad de Schwarz   

·      Producto escalar

Sea E un espacio vectorial (e.v.). Se llama producto escalar a una función real, denotada por < , > y definida en E ´ E, tal que si x, y, z son vectores de E y a es un número real, verifica: 

         Un espacio vectorial con un producto escalar se dice que es un espacio vectorial euclídeo (espacio euclídeo). El producto escalar es una forma bilineal (por las propiedades A2 y A3) simétrica definida positiva, (por las propiedades A4 y A5).

·      Matriz de Gram

             Matriz de Gram del producto escalar respecto de la base B es una matriz cuadrada G cuyos elementos son los productos escalares de los vectores de la base considerada.

  Sea B una base del espacio euclídeo E de dimensión n y G es la matriz de Gram del producto escalar respecto a dicha base. Entonces: 

i). G es simétrica

ii). G es invertible

iii). Si x¹0 es un vector de Âⁿ, entonces   x^TGx > 0

 Nota: Cuando G cumple (iii) se denomina definida positiva.

     Supongamos que B={v₁,v₂,...v_n}  es una base en un espacio vectorial E, donde tenemos definido un producto escalar; la matriz de Gram respecto de B vendrá dada por:

·      Norma o módulo de un vector

           Se llama norma o módulo de un vector x de un espacio euclídeo E, al número real no negativo

  Sea E un espacio vectorial euclídeo. Entonces: 

          Se dice que un vector z de un espacio euclídeo E, es normalizado, si

ççz÷÷ = 1

(también se le llama vector unitario).

           Para cada par de vectores x e y de un espacio vectorial euclídeo E, se verifica: 

·      Ángulo y distancia entre dos vectores

 ·        Ángulo:

Definiremos el coseno del ángulo que forman dos vectores x e y de la forma siguiente:

 ·        Distancia:

Definiremos la distancia entre los vectores x e y de un espacio euclídeo E como sigue:

d (x, y) = ççx - y÷÷   

·      Ortogonalidad 

  Dos vectores x e y de un espacio euclídeo E se dice que son ortogonales si

áx, yñ = 0

Se denota x   y.

  Un conjunto de vectores {u₁, u₂,..., u_p} de un espacio euclídeo E se dice que es un conjunto ortogonal si

· u_i ¹ 0, para todo i = 1,2,....,p

· áu_i , u_jñ = 0 

Si además todos los vectores están normalizados, hablaremos de conjunto ortonormal. 

           Si {u₁, u₂,..., u_p} es una base ortogonal de un espacio euclídeo y x es un vector cualquiera de E, entonces

       Sea {u₁, u₂,..., u_p} un conjunto linealmente independiente de un espacio euclídeo E. Existe un conjunto ortonormal {w₁, w₂,..., w_p} tal que: 

Env {u₁, u₂,..., u_p} =  Env {w₁, w₂,..., w_p}

       Todo espacio euclídeo de dimensión finita no nula admite una base ortonormal. 

·      Subespacio ortogonal

    Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E. Definiremos el subespacio ortogonal a F de la siguiente forma:    

F^{^} = {xÎE: <x,y>=0 para todo yÎF}

· F^{^} es un subespacio vectorial de E.  

· F^{^}  se denomina complemento ortogonal de F.

          Sea F un subespacio vectorial de dimensión finita de un espacio euclídeo E. Si U es una base de F, entonces un vector xÎ F^{^} si, y sólo si, x es ortogonal a cada uno de los vectores de la base U.

          Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita, entonces:    

^·          E = F Å F^{^}

^·          (F^{^})^{^}  = F

^·          dim E = dim F + dim F^{^}

·      Algoritmo de Gram-Schmidt  

  Sea U = {u₁, u₂,..., u_p} una base de un espacio euclídeo E. Este algoritmo construye una base ortogonal {v₁, v₂,..., v_p} (respectivamente ortonormal: {w₁, w₂,..., w_p}) tal que:   

Env {u₁, u₂,..., u_p} = Env {v₁, v₂,..., v_p}

  ( respectivamente Env {u₁, u₂,..., u_p} = Env {w₁, w₂,..., w_p} )  

( respectivamente:   )  

·      Proyección ortogonal

        Supongamos que podemos descomponer un vector z de E (e.v. euclídeo) de la forma z = z₁+ z₂, con z₁ en F y z₂ en F^{^.}.

· El vector z₁ se llama proyección ortogonal de z sobre F paralelamente a F^{^}  

(z₁ = proy_F(z)).  

· El vector z₂ es la componente ortogonal de z en F.

·        Teorema de la proyección

          Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita y supongamos que {v₁, v₂,..., v_p} es una base ortogonal de F.

 Si z es un vector de E, se descompone de forma única como       

z = proy_F(z) + z₂

          Una matriz cuadrada T se dice que es una matriz de proyección o matriz idempotente si T² = T.  

·        Teorema de aproximación

Sea F un subespacio vectorial de un espacio euclídeo E de dimensión finita. Si z es un vector de E y z₁, es la proyección de z sobre F paralelamente a F^{^}, entonces  

ççz - proy_F(z) ÷÷  £  ççz - u÷÷

            para todo vector u de F.

Nota: En esta desigualdad se basa la idea de la llamada aproximación por mínimos cuadrados.

·        Matrices ortogonales

Una matriz real Q de orden n se dice que es una matriz ortogonal si sus columnas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico de Âⁿ.

        Sea Q una matriz de tamaño n´n. Q es ortogonal si, y sólo si,

• Q es invertible, y en tal caso Q^-1=Q^T

• Q^T es ortogonal

      Sus filas son vectores ortonormales respecto al producto escalar canónico de Rⁿ.  

·      Ejercicios resueltos  

       Luego la matriz de Gram sería:

f). Los vectores no pueden ser ortogonales pues su producto escalar es -4.

Dividiendo cada unos de esos vectores por su módulo obtenemos una base ORTONORMAL.

Si disponemos estos tres vectores en columna obtendremos lo que se denomina una MATRIZ ORTOGONAL (su inversa coincide con la traspuesta)