·  Función potencial

·  Función exponencial

· Función potencial 

·  Función potencial de exponente natural 

Llamaremos función potencial de exponente natural a la función

¨Es continua y estrictamente creciente en [0,+¥] .

¨Su inversa existe en [0,+¥[, es continua y estrictamente creciente

·  Función potencial de exponente racional 

    Llamaremos función potencial de exponente racional a la función

 ¨El dominio depende de su exponente.

¨La función potencial y = x^q, q Î Q⁺ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .

¨La función potencial y = x^q, q Î Q^- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .

 Propiedades:

En las funciones potenciales, tanto si el exponente es natural como racional, se cumplen las siguientes propiedades:

·  Función potencial de exponente real  

    Llamaremos función potencial de exponente real a la función

¨La función potencial y = x^a, a Î R⁺ es continua y estrictamente creciente en [0,+¥[ .

¨La función potencial y = x^a, a Î R^- es continua y estrictamente decreciente en [0,+¥[ .

· Función exponencial  

Llamaremos función exponencial a toda función de la forma:

 ¨Es continua en R:

 ¨

¨Si a>1, es estrictamente creciente en R . Y se cumple:

¨Si a<1, es estrictamente decreciente en R . Y se cumple:

¨Si a=1, es constante en R .

 ·  Función exponencial de variable racional

      Dado el real positivo a diremos que a^x es una función exponencial de variable racional y de base a, a la aplicación de Q en R , de forma que a cada racional x le hace corresponder a^x.

Ejemplo: La representación de la función  en el intervalo [-4,6] es la siguiente

     Notar que si la base es mayor que la unidad, la función es estrictamente creciente y si la base pertenece al intervalo abierto ]0,1[  entonces es estrictamente decreciente.

 Un caso particular es tomar la base a = e » 2.71  y se denota e^x ; la representación de la función y = e^x en el  intervalo [-1,4] es:

Ejemplo: comprobar

Demostrar que toda ley de crecimiento exponencial K(t) = K₀a^t, K₀  Î R, a Î R⁺ - {0}, se puede poner de la forma K(t) = K₀e^bt

Dado el real positivo a, siempre existe un número real b de forma que a = e^b

  ·  Propiedades algebraicas de la función exponencial

 ·  Ecuaciones exponenciales

Se llaman ecuaciones exponenciales aquellas ecuaciones en las que la incógnita figura como exponente de una potencia.  Para su resolución tomamos logaritmos en los dos miembros en una base cualquiera, (por ejemplo en base decimal) y aplicamos las propiedades de éstos. 

Ejemplo:

Resuelve la siguiente ecuación:  

Tomando logaritmos decimales a los dos miembros:

·  Sistemas de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Para resolver sistemas de ecuaciones donde intervengan ecuaciones exponenciales y/o logarítmicas, transformaremos en primer lugar el sistema en otro en el que intervengan ecuaciones algebraicas, para lo cual se utilizará tanto la definición como las propiedades conocidas tanto para logaritmos como para exponenciales.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema:

· Operando en la primera ecuación, queda: 

e^2xe^y = e³ Û e^2x+y = e³ Û

· Operando en la segunda ecuación, queda:

Con lo cual el sistema queda transformado como sigue:

con solución