PRODUCTO CARTESIANO R ´ R
El producto R ´ R = R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que se pueden formar; se expresa de la siguiente forma:
La representación gráfica de R2 es el plano considerado como conjunto de puntos.
FUNCIONES
· Preliminares: producto cartesiano, correspondencia, ...
· Ley de composición interna de un conjunto
· Clasificación de las funciones reales de variable real
· Representación de una función
· Determinación del dominio de una función
· Ejemplos de las funciones más usadas
PRODUCTO CARTESIANO R ´ R El producto R ´ R = R2 es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales que se pueden formar; se expresa de la siguiente forma:
La representación gráfica de R2 es el plano considerado como conjunto de puntos. |
CORRESPONDENCIA Dados los conjuntos A y B, si damos una regla que nos permita unir elementos de ambos conjuntos, estamos estableciendo una correspondencia entre A y B. Para denotar una correspondencia utilizamos las letras f, g, h, ...
A: conjunto origen, inicial o de partida. B: conjunto final o de llegada. |
| Llamaremos imagen al conjunto de elementos de B que son el correspondiente de alguno de A y llamaremos dominio al conjunto de elementos de A a los que corresponde alguno de B. al elemento imagen de x (f(x)) lo llamamos y. |
CONJUNTO PRODUCTO DE UNA CORRESPONDENCIA Conjunto de pares de elementos, de forma que el primer elemento de cada par es un elemento del dominio y el segundo el elemento que le corresponde
A ´ B = {(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),...} |
Un ejemplo particular de una correspondencia es una aplicación.
Correspondencia en la que todos los elementos del origen tienen una y no más de una imagen.
y=f(x) se lee "y es igual a f de x"
La
letra f se llama función f. A
la letra x la llamaremos variable
independiente (designa cualquier elemento de X)
y a la letra y (f(x)) variable
dependiente (representa un elemento de Y), es la imagen o valor de x
por la función f.
X es el dominio o campo de existencia de la función. El conjunto de los valores de Y que son imagen de algún elemento de X se llama imagen de f.
Cuando X e Y son subconjuntos de R , se dice que f es una función real de variable real, así pues: llamaremos función real de variable real a toda aplicación f definida en un subconjunto D de los números reales no vacío (se escribe D Í R ) y que toma valores en R . Se suele escribir
y
= f(x)
El
conjunto de las imágenes f(x) lo llamaremos f(D) o Im(f).
Una función real de variable real se representa de la siguiente forma:
El
conjunto D se llama conjunto de definición o dominio
de la función f (Dom(f)).
La gráfica (o grafo) de la función f es el conjunto de todos los pares (x,f(x)), y es un subconjunto del producto cartesiano D x f(D):
Podemos distinguir tres tipos de aplicaciones:
|
Aplicación Inyectiva: si el elemento del conjunto de llegada que es imagen, lo es de un único elemento del conjunto origen.
|
Aplicación Sobreyectiva: todo elemento del conjunto de llegada es imagen de alguno del conjunto origen.
|
Aplicación Biyectiva: cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
|
LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA EN UN CONJUNTO Sea un conjunto A; formemos el producto cartesiano A ´ A. Ley de composición interna (l.c.i.) en A es toda aplicación
Ejemplo: La adición de los números reales. |
·
Clasificación
de las funciones
reales de variable real
·
Variables
continuas y discretas
Con frecuencia, una variable puede tomar cualquier valor real de un cierto intervalo, (por ejemplo x Î [a,b] ), entonces la variable x se llama continua. Si por el contrario x toma sólo valores aislados, por ejemplo x Î N , se llama discreta.
Ejemplo:
La
función y =cos(x) tiene por conjunto de definición
D= R
, y por conjunto imagen f(D)=[-1,1].
· Clasificación de las funciones
Según
la naturaleza de la correspondencia existente entre los conjuntos, las funciones
se clasifican en empíricas y matemáticas.
-Empíricas:
si resultan de la observación de algún fenómeno.
-Matemáticas:
cuando la dependencia entre las variables está definida por expresiones matemáticas.
Éstas
a su vez se clasifican en:
§implícitas:
si la variable dependiente no se
encuentra despejada.
§explícitas: si la variable dependiente se encuentra despejada.
Las
funciones explícitas pueden ser:
*algebraicas
(racionales o irracionales) o
*trascendentes
Las algebraicas son aquellas que contienen sólo adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación en número finito,
trascendentes en caso contrario.
Las funciones algebraicas pueden ser racionales e irracionales. En las racionales, la variable independiente no aparece bajo signo radical, en caso contrario irracionales.
· Representación de una función
-Por
un diagrama
de flechas, para lo cual se representan el dominio
y la imagen mediante diagramas de Venn y los elementos se unen con sus
correspondientes imágenes mediante flechas.
Ejemplo:
-Por
un diagrama
cartesiano (o coordenadas cartesianas)
Construiremos
en primer lugar una tabla de valores, con dos filas (o dos columnas), de modo
que en la primera escribimos algunos valores del dominio y en la segunda sus
correspondientes imágenes. Cada columna de esa tabla (respectivamente fila) es
un par ordenado de valores (abcisa y ordenada) que determinan un punto en el
plano.
Ejemplo: y=x-1
|
x |
y |
|
-1 |
-2 |
|
1 |
0 |
|
4 |
3 |
·
Determinación
del dominio de una función
El
dominio o campo de existencia de una función (D(f)) es el conjunto de números
que tienen imagen, es decir, para los cuales está definida.
* Funciones racionales: (cociente
de polinomios). Su dominio será R
salvo los puntos que anulen el
denominador.
* Funciones irracionales: en
las funciones donde aparezca un índice de radicación par deberemos tener en
cuenta que el radicando deberá ser mayor o igual que cero.
Ejemplo:
Hallar el dominio de la siguiente función:
El dominio de esta función serán los números reales que cumplan estas dos condiciones:
Para lo cual se debe cumplir:
Así pues, el dominio de dicha función será
|
Suma o adición de
funciones: Dadas
dos funciones reales f y g con dominios de definición D(f) y D(g), tal
que D(f) Ç D(g) ¹ Æ.
Se dice que f+g es la suma de las funciones f y g si f+g es la función
real que a cada x le hace corresponder f(x) +g(x). Se escribe (f+g)(x)=f(x)+g(x). El
dominio de la función suma es la intersección de los dominios de f y g. |
Ejemplo: Sean
las funciones f(x) = 3x con dominio R;
g(x)=
entonces f+g es la función
que a cada x le hace corresponder 3x+ |
|
Diferencia de funciones: Dadas dos funciones reales f y g definidas en el conjunto DÌR . Se dice que f-g es la diferencia de las funciones f y g si es la suma de f con la función opuesta de g. Se escribe (f-g)(x)=f(x)-g(x). |
Ejemplo: Sean las funciones f(x)=3x; g(x)=x3 ,
entonces
f-g es la función que a cada x le hace corresponder 3x-x3
. |
|
Multiplicación de
funciones: Dadas dos funciones reales f y g con dominios de definición D(f) y D(g), tal que D(f) Ç D(g) ¹ ú . El producto de las funciones f y g es la función f Ñ g que a cada x le hace corresponder f(x) Ñ g(x) . Se escribe
El
dominio de la función producto es la intersección de los dominios de f y
g. |
Ejemplo: Sean las funciones
Como D(f) =R -{0} y D(g) = R -[1,2], entonces D(f Ñ g) = R-({0} È [1,2]) y
|
|
Cociente de
funciones: Sean
dos funciones reales f y g definidas en el conjunto DÌR
, de forma que g(x) ¹
0
. El cociente de las funciones f y g es la función |
Ejemplo: Sean las funciones f(x)=3 x; g(x)=x3 , xÎR~{0} .
Entonces |
|
Composición de funciones: Si
f y g son dos funciones reales de variable real, con dominios y
recorridos D(f) e Im(f) y D(g) e Im(g) respectivamente. Si
Im(f) Ì
|
Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x2 g(x) = 2x+5 Como D(f) = Im(f) = R y D(g) = Im(g) = R, entonces (g ° f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = 2x2+5
|
|
Función inversa: Si una función f tiene una función simétrica con respecto a la composición de funciones, es decir $ g / f ° g = g ° f = I, donde I es la función identidad, esto es:
se llama inversa con respecto a la composición o simplemente inversa, y a la función g se le denota f-1. Las
únicas funciones que tienen inversa son las inyectivas. Si f es una función inyectiva de dominio D(f) e imagen Im(f), su función inversa es f-1, definida por:
D( f-1) = Im(f) e Im( f-1) = D(f).
Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
En la práctica el cálculo de la inversa se hace cambiando la x por la y
y viceversa. |
Ejemplo: Calcular la función inversa de f(x) = 3x+4 y = 3x +4, al cambiar la x por la y, y viceversa queda: x
= 3y + 4 y despejando: Entonces:
|
· Ejemplos de funciones más usadas
Función
constante:
Es una aplicación f de R en R, de la forma siguiente:
Ejemplo:
Función polinómica
de grado n:
Es una aplicación f de R en R , de la forma siguiente:
(Ver
también polinomios)
Casos particulares:
El número m se llama pendiente
de la recta o también factor de proporcionalidad. La gráfica de la función
lineal en coordenadas cartesianas es una recta que pasa por el origen. Cabe destacar la función identidad
Su gráfica es la bisectriz
de los cuadrantes primero y tercero. |
Un ejemplo de función lineal viene dado por la ley del movimiento uniforme e =v t Supongamos un coche que parte del Km 0 de una carretera a una velocidad constante de 5 km/h.
|
||
(polinómicas
de primer grado) El número m se llama pendiente de la recta y depende del ángulo que forma la gráfica con el eje OX. El número n se llama ordenada en el origen. La gráfica de la función
afín en es una recta que corta al eje de ordenadas en el punto de
ordenada n. |
Un ejemplo de función afín viene dado por la ley del movimiento uniforme e = v t+e0 Supongamos un coche que parte del Km 4 de una carretera a una velocidad constante de 5 km/h.
|
||
(o
polinómicas de segundo grado) Función cuadrática
general, llamada también trinomio de segundo grado. Tiene por
representación gráfica una parábola de eje paralelo a OY. |
Representemos, por ejemplo, la función y = 2x2 + 3x + 5 en [-5,2].
|
Una función real de una variable real definida en un intervalo [a,b] se dice que es escalonada si existe un conjunto de puntos x0, x1,...,xn del intervalo [a,b], (partición) tales que:
Ejemplo:
Supongamos que el coste de una llamada telefónica es de 5 céntimos de euro cada minuto o fracción de minuto, es decir:
y así sucesivamente. Representamos dicha función de la siguiente forma:
Esta
función recibe el nombre de función
escalera. El conjunto de definición de la variable x es el
conjunto de los números reales positivos. El conjunto imagen es {0, 5, 10,
15, …}.
|
Un caso particular de función escalera es la función llamada Parte Entera : E(x)
Así
por ejemplo, la parte entera de 0.34 es0 y la parte entera de -2.65 es -3. Es una función con conjunto de
definición R
y conjunto imagen R
. |
|
Una función real de una variable real definida en un intervalo [a,b] se dice que es rectilínea a trozos si existe un conjunto de puntos x0, x1,...,xn del intervalo [a,b], (partición) tales que:
·
Un
caso particular de función rectilínea a trozos es la función Módulo:
|x|
Es una función con conjunto de definición R y conjunto imagen R.
· Un caso particular de función rectilínea a trozos es la función Diente de sierra:
· Un caso particular de función rectilínea a trozos es la función Mantisa de x: x-E[x]. Es una función con conjunto de definición R y conjunto imagen [0,1[.
 | Función par |
Una función f es par si cumple
.
Notemos que las funciones pares son simétricas respecto al eje y.
Ejemplo:
Un ejemplo de una función par es la función: y= x2 + 5
f(x) = x2 + 5
f(-x) = (-x)2 + 5 = x2 + 5
| Función
impar |
Una función f es impar si cumple
.
Notemos que las funciones impares son simétricas respecto al origen de
coordenadas.
Ejemplo:
Un ejemplo de una función impar es la función: y= x3 + 2x
f(x) = x3 + 2x
f(-x) = (-x)3 + 2(-x) = -x3 - 2x
Ejemplo:
Un ejemplo de una función que no es par ni impar es: y= x2 + 5x
f(x) = x2 + 5x
f(-x) = (-x)2 + 5(-x) = x2 - 5x
| Función periódica |
Una función f es impar si existe un número real positivo T, llamado período principal, de forma que
.
Ejemplo:
Ejemplo de una función periódica de período T=1
| Función monótona creciente |
Una función f es monótona creciente si:
Una función f es monótona creciente en sentido estricto (o estrictamente creciente) si:
Ejemplo:
Ejemplo de una función monótona creciente en sentido estricto es y = 2x "xÎR.
| Función monótona decreciente |
Una función f es monótona decreciente si:
Una función f es monótona decreciente en sentido estricto si:
Ejemplo:
Ejemplo de una función monótona decreciente en sentido estricto es y = -2x "xÎR.
| Función acotada superiormente |
Es aquella en la que existe un número real K de forma que la función no supera nunca dicho valor, es decir:
| Función acotada inferiormente |
Es aquella en la que existe un número real K de forma que la función siempre es mayor o igual que dicho valor, es decir:
| Función acotada |
Una función está acotada si lo está inferior y superiormente, es decir:
| Función algebraica |
Función determinada por una expresión donde sólo intervienen las cuatro
operaciones elementales y la radicación.
| Función trascendente |
A las funciones no algebraicas se les llama trascendentes. Un ejemplo de
función trascendente es y = log(sen(x)).
| Función racional |
Función
que viene determinada por un cociente de polinomios.
| Función irracional |
Función
algebraica no racional.
| Función empírica |
Función determinada por expresión no matemática (como por ejemplo el grado
alcohólico de un vino en función de su temperatura).
| Función circular o trigonométrica |
Es aquella que resulta de las razones trigonométricas de un ángulo o arco al considerar como variable independiente x, su medida en radianes. Ejemplos: y = sen(x), y = cos(x)....
