INECUACIONES

 

·  El orden en R

·  Intervalos en R

· Desigualdad

· Inecuaciones con una incógnita

· Inecuaciones con dos incógnitas

 

Temas relacionados:

Simbología

·      El orden en R

Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor o igual que b y se escribe a £ b si existe un número real, positivo o nulo c, tal que a+c=b. Es decir:

“a es menor o igual que b si y sólo si existe un número real positivo o nulo tal que a más c es igual a b”.

La relación £  es compatible con la adición y con la multiplicación, es decir:

 “a es menor o igual que b si y sólo si a más c es menor o igual que b más c”.

 “Si a es menor o igual que b y c es mayor o igual que cero, entonces a por c es menor o igual que b por c”.

Se puede definir también en R un orden en sentido estricto, representado por < (se lee estrictamente menor

 ·       Intervalos en R

     Sean a y b dos números reales con a £   b ; se define

 

Intervalo cerrado de extremos a y b de la siguiente forma:

Intervalo abierto de extremos a y b de la siguiente forma:

 

Intervalo semiabierto por la derecha de extremos a y b de la siguiente forma:

 

Intervalo semiabierto por la izquierda de extremos a y b de la siguiente forma:

 

Como caso particular de los intervalos se encuentran los llamados intervalos de extremo infinito.

El conjunto R  con estos dos nuevos elementos, - ¥, +¥, se dice que está ampliado o completo y se representa:

·       Desigualdad

  Desigualdad: es el conjunto de dos expresiones matemáticas unidas por alguno de estos signos:

 

Ejemplo:  

   

·        Propiedades de desigualdades:

  1. Ley de monotonía de la adición
  2. Ley de monotonía de la multiplicación
  3. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desigualdad por un número negativo, resulta otra desigualdad de sentido contrario que la propuesta.

 

·      Inecuaciones con una incógnita  

·        Inecuación:

Es una desigualdad con indeterminadas; podemos distinguir:

Lineal: si la potencia a la cual está elevada la variable o indeterminada es la unidad.
De segundo grado: si la potencia es dos  

Ejemplos:

  Lineal

De segundo orden

 

·        Resolución de una inecuación lineal:

 

       Para resolver una inecuación lineal se pueden realizar las mismas transformaciones por suma que en una ecuación. En las transformaciones por producto, debemos tener en cuenta que si el factor es positivo, conservaremos el signo de la desigualdad, y lo transformaremos en signo contrario si el factor es negativo.

Ejemplo:

Transponemos términos y operamos

Multiplicamos los dos miembros por , que es un número positivo, por lo que la desigualdad mantendrá su signo.

 

Solución  ]-¥,-1]

    

·        Resolución de una inecuación de segundo grado:

  En la resolución de las inecuaciones de segundo grado, además debemos tener en cuenta lo siguiente: estas inecuaciones son desigualdades de forma reducida:

 

Ejemplo:

Halla la solución de

Las raíces de la ecuación x2 + x - 12 £ 0  son -3 y 4, por tanto podemos expresar:

Utilizando la regla de los signos, el producto será menor o igual a cero si los factores tienen signos opuestos, es decir:

    Lo cual nos lleva a resolver dos sistemas de inecuaciones

 

·        Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita:

      La solución de un sistema formado por dos inecuaciones es la intersección de las soluciones de cada inecuación.    

Ejemplo:

 

 

 

 

La solución será

Nota:

    Las inecuaciones con producto o cociente, aunque no son lineales, pueden reducirse a sistemas de inecuaciones lineales; por ejemplo, para resolver la inecuación (2x+10)(x+1)> 0 , la desglosaríamos en dos sistemas de inecuaciones  (teniendo en cuenta la regla de signos del producto) y para su resolución procederíamos como en el ejemplo anterior.  

2x + 10 > 0 y x +1 > 0 con solución ]-5,¥[ Ç ]-1,¥[ = ]-1,¥[

2x + 10 < 0 y x +1 < 0 con solución ]-¥,-5[ Ç ]-¥,-1[ = ]-¥,-5[

      La solución de la inecuación (2x+10)(x+1)> 0 vendrá dada por la unión de los conjuntos de las soluciones de ambos sistemas, es decir:  

]-¥,-5[ È ]-1,¥[

 

 

·   Inecuaciones lineales con dos incógnitas    

Una inecuación lineal con dos incógnitas puede reducirse a una de las siguientes formas:

y < ax + b   y £ ax + b   y > ax + b   y ³ ax + b

La gráfica de la aplicación afín  y=ax+b divide al plano en dos semiplanos: en los puntos situados en el semiplano superior se verifica y > ax + b mientras que en los puntos situados en el semiplano inferior se verifica y < ax + b; para los puntos de la recta frontera se cumple la igualdad.

Ejemplo: Representa

   

·        Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas:

La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada inecuación.  

Ejemplo:

 

PONER EJEMPLO DE PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL o comprobar éste.

En un avión, se pueden transportar paquetes de tipo A, que pesan 17 kg cada uno y tienen 1.8 litros de capacidad, y paquetes de tipo B, que pesan 13 kg y tienen 2.5 litros.

Por cada uno de los primeros cobra 2 euros y por cada uno de los segundos 5 euros. Además, el peso máximo que puede transportar 2100 kg. Y la capacidad no puede superar los 200 litros. ¿Cuántos paquetes debe transportar de cada clase para percibir el mayor beneficio posible?

Cantidad Kg Litros Euros
A x 17 1.8 2
B y 13 2.5 5

x ³ 0

y ³ 0

17x + 13y £  2100

1.8x + 2.5y £  200

 z = 2x + 5y

 

    La solución del sistema de inecuaciones está determinada por el triángulo de trazo rojo.

    La ecuación 2x+5y =0, representa una línea de nivel. De las posibles soluciones del problema, el más alejado de la recta  2x+5y =0 es H, lo que se comprueba trazando una paralela a dicha recta.

Para hallar las coordenadas de H, sabemos que es el punto de intersección del eje OY (de ecuación x = 0) con una paralela a la recta 2x+5y=0; además, como el punto H pertenece a la recta 1.8 x+2.5 y=200, cumplirá: x=0, y=200/2.5=80

Las coordenadas de H son (s,t)=(0,80) , así que el avión podrá transportar 0 paquetes del tipo A y 80 paquetes de tipo B.