·  Derivada de la función logarítmica   

¤ “La derivada del logaritmo base a de x es igual a la unidad partida por el producto de x por el logaritmo neperiano de la base a”

Si se quiere incluir ya de forma implícita la Regla de la Cadena, se podrá decir que:

 ·  Caso particular: función logarítmica natural                              

¤ “La derivada del logaritmo neperiano de x es igual a la unidad partida por x”

Incluyendo la Regla de la Cadena:     

Ejemplos:

    a)  Sea  . Es inmediato apreciar que se trata de una función de función, o función compuesta de otras dos: la función  y la función polinómica . Es decir, se trata del logaritmo neperiano de un polinomio.

         Así pues, para derivarla habrá que aplicar la Regla de la Cadena, y derivar primero la “primera” o “más exterior” función logaritmo neperiano manteniendo igual el argumento de dicho logaritmo (es decir, el polinomio sobre el cual actuaba), obteniendo así la unidad partida por dicho polino­mio; pero inmediatamente habrá que multiplicar ese resultado por la derivada del polinomio.

         Naturalmente –y no sólo en este caso, sino siempre– luego se efectuarán las operaciones que sean posibles y convenientes para dejar la expre­sión en la forma más simplificada que se pueda.

   b)  Sea . En este caso las dos funciones compuestas son  y  . Es decir, se trata de la raíz cuadrada del logaritmo neperiano de x .

         Así pues, siguiendo los pasos indicados en la Regla de la Cadena, como en el ejemplo anterior, primero derivamos la función más “exterior” (en este caso la raíz cuadrada), manteniendo igual la función sobre la que actúa (en este caso el logaritmo neperiano de x); y seguidamente multiplicamos el resultado obtenido por la derivada de la función más “interior”, es decir, por la derivada del logaritmo neperiano de x , sobre el cual actuaba la raíz cuadrada. Será, pues,

   c)  Sea   .  Se trata del logaritmo en base 2 de un polino­mio. O sea que las funciones que aquí están compuestas son   y  .

         Derivando, pues, según la Regla de la Cadena, primero obtendremos la derivada del logaritmo en base 2, manteniendo igual el polinomio sobre el cual actúa, y obteniendo inicialmente por tanto  ; pero inmediatamente este resultado lo multiplicaremos por la derivada del polinomio sobre el cual actuaba el logaritmo, es decir, por  . En resumen:

   d)  Sea  . En este caso se trata del logaritmo decimal de un polinomio. Por tanto, siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo anterior, obtendremos:

   e)  Sea ahora   . Es interesante hacer notar que estamos ante un caso en cierto modo “especial”. Si tomamos la función tal como nos la han dado, evidente se trata del logaritmo neperiano del cuadrado. Por tanto, actuando como en los ejemplos anteriores, tendríamos:

 , fracción que se puede simplificar, quedando 

         Pero podríamos habernos fijado inicialmente en que, al tratarse del logaritmo neperiano del cuadrado de x , por la propiedad del logaritmo de una potencia, antes de derivar la función se puede transformar en

y ahora ya no se trata de una función compuesta, sino del producto de una constante, 2,  por el logaritmo neperiano de x . En consecuencia, ahora la podremos derivar como tal, sin aplicar ya la Regla de la Cadena: