·  5.3. Derivada de una función compuesta o función de función.

    Regla de la cadena

         Teniendo en cuenta el concepto de composición de funciones estudiado en el tema de operaciones con funciones, consideremos ahora que tenemos una función  g: ℝ® ℝ, que a cada elemento ℝ le hace corresponder una imagen   , y, a su vez, otra función f: ℝ® ℝ, que actúa sobre el conjunto imagen de g, y que a cada elemento   le hace corresponder una imagen  .

              ℝ                         ℝ                            ℝ

Si    es derivable en ,  y si    es derivable en  , entonces la función compuesta   es derivable en  y su derivada es:

                      o sea          

         Esquema aproximado de la prueba:

¨  

por tanto,  sustituyendo,

de donde    . x

En general, para cualquier punto x :       

regla que se podría intentar expresar “con palabras” diciendo que “la derivada de una función compuesta de dos funciones, es igual a la derivada de la primera función respecto a la segunda sin derivar, multiplicada luego por la derivada de la segunda función respecto a la variable independiente x”. (aunque debemos reconocer que la “traducción” al lenguaje gramatical se hace difícil en este caso).

         Más sencillo resulta traducir  en palabras: “La derivada de y respecto a x es la derivada de y respecto a

u por la derivada de u respecto a x”.

Ejemplos:  

   a)  Sea . Nótese que se trata de la composición de dos funciones: la función cuadrado  y la  función polinómica . Desde un punto de vista más “operativo” deberíamos decir que se trata del cuadrado de un polinomio. Por tanto, al derivar tendremos:

    Expresándolo “con palabras”, podríamos decir que, por ser en principio un cuadrado, su derivada (según hemos visto antes) comenzará siendo el exponente 2 por la función de dentro del paréntesis elevada a 1; pero luego todo ello multiplicado por la derivada de la función polinómica que estaba elevada al cuadrado.

   b)  Si   también se trata de una función compuesta de otras dos: la función raíz cuadrada  y la función polinómica  . Podríamos decir que es la raíz cuadrada de un polinomio. En consecuencia,

    Expresándolo “con palabras”, diríamos que, por ser en principio una raíz cuadrada, su derivada comenzará siendo la unidad partida por el doble de dicha raíz cuadrada; pero todo ello multiplicado luego por la derivada de la función polinómica que estaba en el radicando.

     Como el alumno puede ir “intuyendo”, el uso de la “Regla de la Cadena” es fundamental en el cálculo de funciones derivadas. No obstante, en este apartado no vamos a seguir poniendo más ejemplos debido a que (como ya se ha comentado antes) todavía no “conocemos” las funciones derivadas de la mayoría de las funciones elementales. A medida que vayamos hallando las reglas de obtención de dichas funciones derivadas, iremos insistiendo, a la par que en la aplicación de las mismas, en el uso de la importante “Regla de la Cadena”.