a) La constante reticular.
 b) El radio atómico del elemento.

dhkl = a / ( h2 + k2 + l2)1/2 
de donde a = dhkl  ( h2 + k2 + l2)1/2 
   (Å)

b) En una red c.c. la diagonal del cubo es compacta, es decir, los átomos de las esquinas y el central están tocándose. Por lo tanto, y asumiendo un modelo de esferas duras, la diagonal del cubo, cuya longitud es a?3, tiene la misma longitud que 4 radios atómicos (intersecta completamente al átomo central y hasta el centro a los dos átomos de las esquinas opuestas). Esto es:

       (Å)

El número de átomos por celda en la red c.c. es de 1 + 8 (1/8) = 2 átomos/celda.
La masa de cada átomo de hierro será: 
                     Peso atómico / nº Avogadro = 55.847  / 6.0248 1023  = 9.2695 10-23 g.

y la masa de cada celda valdrá:
                     2 átomos / celda  9.2695 10-23 g = 18.539 10-23 g.

Por otra parte, el volumen de la celda es:
                     a³ = (2.866 10-8 cm)3 = 2.354 10-23 cm3

con lo que la densidad teórica vale:
                     d = masa / vol = 18.539 10-23 / 2.354 10-23  g/cm3 = 7.875 g/cm3,

valor prácticamente igual al valor experimental  d= 7.87 g/cm3.

 a) Determinar el tipo de pigmento utilizado.
 b) ¿Sería posible resolver la cuestión mediante análisis químico?.

a) A partir de los valores de ángulos 2q y de la ecuación de Bragg, se determinan las distancias dhkl correspondientes a cada pico.

Valores que coinciden significativamente con los correspondientes al producto PbO.TiO2.

b) Es evidente que un análisis químico informaría de la presencia de Pb y Ti. Pero no podría discernir si corresponden a un producto dado, como el PbO.TiO2 o bien es que existe una mezcla de óxidos de TiO2 y Pb2O3. El análisis químico resulta, por tanto, insuficiente para identificar las estructuras cristalinas presentes.

Se pide determinar:

 a) distancias interplanares que producen difracción.
 b) calcular el parámetro reticular, sabiendo que es una red cúbica.
 c) determinar si se trata de una red C.C. o C.C.C.
 d) determinar el radio atómico del aluminio.

A partir de la Ley de Bragg, l = 2 d senq, puede obtenerse los valores de d:

b) Cálculo del parámetro reticular. En las redes cúbicas, la segunda raya del espectro corresponde a la difracción sobre planos de índices (200).
Sabiendo que para las redes cúbicas, la distancia entre planos de índices hkl vale:

c) Determinación del tipo de red. En la red c.c. sólo son observables los planos que cumplen:

En la red c.c.c. sólo son observables los planos donde todos los índices son pares, o impares, es decir:

h,k,l = 2n
h,k,l = 2n-1    n= 1,2,3,...

En la estructura c.c., se cumple: 

mientras que en la red c.c.c., se cumple:

En nuestro caso:

luego se trata de una red c.c.c.

d) Determinación del radio atómico del aluminio. En las redes c.c.c, la dirección densa es la diagonal de una cara. Por lo tanto:

Problema 3.5 En una muestra de cobre se aprecia mediante observación metalográfica la existencia de un precipitado. Para identificarlo, se somete la muestra a un ensayo de difracción de rayos X. Se sabe que el cobre presenta estructura c.c.c con parámetro reticular a = 3.616 Å. Determinar si un pico para d = 1.419 Å corresponde al cobre o al precipitado.

Por ser c.c.c., el cobre presentará difracción en planos hkl que cumplan:

h,k,l = 2n
h,k,l = 2n-1    n= 1,2,3,...

por lo que resulta evidente que d = 1.419 Å no puede corresponder a difracción sobre planos del cobre, confirmando la existencia de otras fases diferentes en la estructura.

Problema 3.6 Caracterización mecánica de fases mediante microdurezas. 
Se pretende caracterizar mecánicamente la dureza de las fases que componen una aleación bifásica. Para ello se efectúa una preparación metalográfica, determinándose el tamaño medio de los granos en unas 100 mm. También se ha determinado la dureza de la aleación, mediante un ensayo Vickers, con carga de 30 kg, obteniéndose una dureza 360 HV.

 a) Determinar cual es el rango aproximado de carga que deberá utilizarse en el microdurómetro para asegurar que las huellas de microdureza afectan a un solo grano.
Observación: El problema puede abordarse experimentalmente, mediante sucesivos ensayos de prueba y error. Es decir, se selecciona una carga al azar, por ejemplo 1000g. y se observa el tamaño de la huella producida. Si afecta a más de un grano, se reduce la carga, se hace otro ensayo y se vuelve a observar, así hasta que se consiguen huellas de tamaño inferior al de los granos de cada fase. No obstante, también puede iniciarse el problema de forma más aproximada, efectuando un cálculo de la carga necesaria para obtener huellas de tamaño apropiado.

 b) Se realiza el ensayo sobre distintos granos, tomando medidas exclusivamente de las huellas que afectan a un solo grano o fase.
Nota: Aún así, es posible que alguna medida de dureza no corresponda a una sola fase, debido a la presencia de un grano de otra fase inmediatamente debajo del que se esta ensayando, tal como se indica en la figura.
Los resultados que se obtienen se regogen en la tabla siguiente:

1)  Selección de cargas
A partir de la ecuación para la dureza Vickers:

podemos obtener P(g), con la condición de que d sea menor que el tamaño del grano. 
Tomando d= Øgrano/2 = 50 mm, y considerando que la dureza media es de 360 HV, se obtiene:

por lo que una carga de 500 g constituye la solución más adecuada para abordar el estudio.

Una vez desestimados los valores de 250 y 389, que claramente no corresponden a uno u otro tipo de grano, se calculan las propiedades para cada fase:

 Dureza fase A : (420 + 435 + 428) / 3 = 428 HV
 Dureza fase B : (160 + 168 + 171) / 3 = 166 HV