Discretización por Tustin: preservación de estabilidad y respuesta en frecuencia (distorsionada)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 22:50

Resumen:

En este vídeo se analiza la preservación de estabilidad y respuesta en frecuencia de reguladores contínuos $K_c(s)$ discretizados mediante la aproximación bilineal (de Tustin). Los resultados parecen ser más prometedores que en el caso Euler discutido en el vídeo [dre2e]:

• La discretización $K_d(z)=K_c(\frac{2(z-1)}{T(z+1)})$ es estable en tiempo discreto sí y sólo si $K_c(s)$ es estable (en tiempo contínuo).

• El eje $\pm j\omega$ mapea a la circunferencia unidad: todo lo que se “ve” en la respuesta en frecuencia contínua $K_c(j\omega )$ se “ve” en la respuesta en frecuencia discreta $K_d(e^{j{\omega }_{d}T})$.

Pese a ser bastante más exacta que las aproximaciones de Euler, no obstante, el uso de la discretización de Tustin plantea aún dos inconvenientes:

• Existe distorsión en la respuesta en frecuencia ${\omega }_d\ne \omega$. En concreto ${\omega }_d=\frac{2}{T}atan\left(\frac{\omega T}{2}\right)$. La distorsión sólo está por debajo del 3% a frecuencias $\omega$ por debajo del 20% de la frecuencia de Nyquist $\omega \le 0.2{\omega }_{Nyquist}=0.2\pi ∕T$.

• La supuesta “exactitud” no lo es tanto, porque no tiene en cuenta la presencia de la planta controlada: la preservación de estabilidad en bucle abierto de $K_d(z)$ no garantiza la estabilidad en bucle cerrado de $K_d(z)$ junto a $GD=c2d(G,T{,}^{\prime }zo{h}^{\prime })$... hay plantas en las que un regulador discretizado por Euler al mismo período funciona mejor que la discretización de Tustin, pese a que intuitivamente pudiera creerse que eso no podría suceder. Obviamente, en problemas de “filtrado” donde no hay realimentación (bucle abierto), la estabilidad del filtro resultante sí está garantizada, y a esto es lo que se refiere mucha literatura de procesado de sen~al; en control dicha garantía no existe (opciones con garantía de estabilidad en bucle cerrado se discuten en el vídeo [d2c]).

Colección completa [VER]:

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