Control eje (13): control PI posición asignación parcial de polos, métodos algebraicos

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 18:58

Resumen:

Este vídeo discute el disen~o de un control PI (proporcional-integral) para un eje, como parte de un caso de estudio de varios vídeos. El vídeo inmediatamente anterior es el [eje12pPI2], que discute las especificaciones alcanzables con dicho PI (error cero ante escalón y rampa de referencia, ante escalón de perturbación) comparadas con un proporcional (el proporcional será más rápido). También presenta la forma del lugar de las raíces para diferentes posiciones del cero en $-\alpha$ del PI $(s+\alpha )∕s\cdot K_c=K_p+K_i∕s$. Como el PI no tiene ‘controlabilidad total’, no se puede asignar un denominador arbitrario y, por tanto, requiere de un análisis más cuidadoso el disen~o de dichos controladores.

Aquí se plantea que, como el regulador tiene dos incógnitas ($K_p$ y $K_i$), podría ser posible asignar dos polos, y luego ver si hay suerte o no con la posición del tercero. En efecto, ello es posible, y se hace de dos formas:

• Eligiendo un polo deseado $p_1=-0.4+0.4j$ y su conjugado $p_2=-0.4-0.4j$ y planteando el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas $D(p_1)=0$, $D(p_2)=0$ siendo $D(s)$ el denominador de las FdT de bucle cerrado, base de la ecuación característica, que realmente es un polinomio $D(s,k_p,k_i)$, pero una función lineal de $K_p$ y $K_i$ para $s$ fijo. Esas ecuaciones se plantean en un par de líneas de la symbolic toolbox, pero el problema para hacerlo en un examen de ‘lápiz y papel’ es que los coeficientes de las ecuaciones son números complejos. No importa conceptualmente, pero el cálculo es más laborioso, por lo que se propone una forma alternativa...

• Plantear $D(s,k_p,k_i)=D_{deseado}(s)$, sustituyendo un $D_{deseado}$ arbitrario por $({(s+0.4)}^2+0.4^2)\cdot (s+\beta )$ siendo $\beta$ una tercera incógnita que nos da el tercer polo no directamente asignable. Así se puede plantear un sistema de tres ecuaciones (los coeficientes de $s^2$, $s$ y término independiente de polinomio cúbico) y tres incógnitas $(K_p,K_i,\beta )$ que se resuelve fácilmente.

Existe una tercera forma de resolver el problema, que es aplicando el ‘criterio del argumento’ y ‘criterio del módulo’ de la teoría del lugar de las raíces. Como esa tercera forma es muy común en cursos introductorios de control, se le dedica un vídeo separado, ver [eje13pPI3b].

Colección completa [VER]:

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