Control con planificación de ganancia para sistemas politópicos: condiciones LMI de síntesis

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ***** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:27

Resumen:

Este vídeo es continuación del vídeo [lqrgs1], donde se planteó el problema de planificación de ganancia en sistemas politópicos y se calcularon las ecuaciones de bucle cerrado, donde aparecían dobles sumatorios ${\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^r{h}_i{h}_j{\Theta }_{ij}$. La visualización de este vídeo así como de los vídeos sobre el caso lineal [lqrlmi] o robusto [lqrlmiro] se aconseja para poder comprender mejor las diferencias con el caso ahora considerado.

Las ideas básicas de ese vídeo anterior se revisan rápidamente en los primeros dos minutos, y a partir del minuto [02:25] se desarrollan las LMis necesarias para disen~o de ganancias (porque las LMIs del vídeo [lqrgs1] sólo podían ser resueltas de forma eficiente si la única variable de decisión era la cota $P$).

Para obtener LMIs de síntesis se necesita hacer el cambio de variable $x=P^{-1}\xi$, como en el caso robusto (vídeo [lqrlmiro]). También, debido a que aparecen productos $F_i^{T}R{F}_j$, debe acotarse $F_i^{T}R{F}_j+F_j^{T}R{F}_i\preccurlyeq F_i^{T}R{F}_i+F_j^{T}R{F}_j$, donde una desigualdad $A\preccurlyeq B$ se entiende como $A-B\preccurlyeq 0$. Se demuestra en el vídeo dicha desigualdad matricial.

Los desarrollos continúan haciendo relajaciones de la suma doble, como en el vídeo [lqrgs1], y haciendo complemento de Schur para eliminar los productos de variables $F$. Con ello resultan un conjunto de LMIs cuya solución, computacionalmente eficiente, permite calcular las ganancias de $u=-{\sum <!--FUNCTION\; APPLICATION-->}_{i=1}^r{h}_i(t)F_{i}x$ y la cota de coste $x_0^{T}P{x}_0$.

Colección completa [VER]:

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