Modelado unidimensional de un calentador tubular de líquido con ecuaciones en derivadas parciales (EDP)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 10:56

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Resumen:

Este vídeo modela un calentador tubular con una resistencia calefactora como una conexión de múltiples elementos donde cada uno de los elementos es un mini-tanque calefactor de primer orden idéntico al modelado en el vídeo [term1e]; este modelado se revisa rápidamente en el primer minuto y medio del vídeo, para que sea más autocontenido.

Tras plantearse las relaciones entre las salidas de un elemento y las entradas del siguiente, se pasa a considerar que los elementos estarán separados una distancia $dx$, y que el volumen de cada elemento será $Sdx$. Conceptualmente, si la temperatura de un elemento es $T(x)$, la temperatura del siguiente elemento será $T(x+dx)$. Como estamos analizando cambios de temperatura en el tiempo (dinámica), realmente se trata de ver las ecuaciones que rigen los valores $T(x,t)$ en distintas posiciones e instantes de tiempo.

Planteando las ecuaciones de cada elemento y haciendo el límite cuando $dx\to 0$, se obtiene las ecuación en derivadas parciales que describe al calentador tubular. Tiene la forma:

La parte final del vídeo discute dos casos particulares muy estudiados.

El primero es el caso de no disipación/generación $\overline{\kappa }=0$, $\overline{Q}=0$. Con ello, la ecuación se convierte en la EDP de transporte $\frac{\partial T}{\partial t}=-v\frac{\partial T}{\partial x}$ siendo $v=F∕S$ la velocidad de circulación del fluido; su solución es un retardo (denominado retardo de transporte) que depende del valor del caudal $F$.

El segundo caso particular es el caso estacionario (equilibrio, $\frac{\partial T}{\partial t}=0$) que consideraremos por simplicidad sin aporte de calor por la resistencia, $\overline{Q}=0$. En ese caso, al eliminar las derivadas temporales, se obtiene una ecuación diferencial ordinaria en la longitud $\frac{\partial T_{eq}}{\partial x}=-\frac{\overline{\kappa }}{F\rho C_e}\cdot T_{eq}$ cuya solución exponencial da lugar a fórmulas muy utilizadas en cálculos de intercambiadores de calor, no objetivo de este material (la fórmula exponencial es utilizada en el vídeo [term1exp] para obtener una aproximación sencilla, de primer orden, de la dinámica del intercambiador que al menos preserve el balance de energía correcto en equilibrio).

Si no se puede calcular analíticamente la solución exacta en el caso general, la simulación numérica requiere, en la mayor parte de casos, de modelos de orden finito (elementos no infinitesimales) como se había hecho en las fases iniciales del modelado aquí presentado: en efecto, las EDP tienen un número infinito de estados que no permiten su simulación con modelos $ẋ=f(x,u)$ manejables en un computador.

En este caso, para caudal $F$ constante la solución exacta sí puede calcularse, ver vídeo [termedpsol], donde se hace por transformada de Laplace. La simulación comparada de las aproximaciones de primer orden detalladas en otros vídeos y la solución EDP exacta se aborda en el vídeo [term1evsedp].

Colección completa [VER]:

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