Transformación unscented (Uhlmann-Julier): idea básica

Antonio Sala, UPV

Dificultad: *** ,       Relevancia: ,      Duración: 13:05

Resumen:

En este vídeo se describe la idea básica detrás de la transformación propuesta por Uhlmann y Julier, que ellos denominaron “unscented”: para evaluar la media y la varianza de $y=f(x)$ se podría reemplazar la distribución de probabilidad de $x$ continua (que requeriría de “muchas” muestras para aproximarse a los resultados correctos) por una distribución discreta $\widehat{x}$ con “pocos” puntos (y cuertas probabilidades asociadas a cada uno de los puntos).

Los puntos $\widehat{x}$ y sus probabilidades estarían especialmente elegidos para conservar determinados momentos (media, varianza, sesgo, …) de la distribución original $x$, de modo que algunos términos de orden superior del error discutidos en el vídeo [errekf] estuvieran correctamente considerados. En ciertas variaciones de la idea en la literatura, las probabilidades son reemplazadas por “pesos” que pueden incluso tomar valores negativos.

En particular, mantener media y varianza resulta muy sencillo generando $2n+1$ puntos a partir de la diagonalización de la matriz de varianzas covarianzas $\mathrm{\Sigma }=VD{V}^T$ de la distribución de $x\in {ℝ}^n$ original. Estos puntos fueron denominados “sigma-points” por los autores originales de la propuesta. Existe un parámetro ajustable $\kappa$ relacionado con el peso del punto central (media) en las medias ponderadas de los puntos o sus cuadrados que aparecen en las estimaciones de media y varianza. Otros desarrollos introducen más parámetros ajustables ($\alpha$, $\beta$), que no son objetivo de este material.

Colección completa [VER]:

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