Sistema inestable 1er orden: modelo bioreactor microscópico (estadística) y macroscópico (ec. diferencial)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: ** ,       Relevancia: ,      Duración: 19:53

Resumen:

Este vídeo describe el modelado de un bioreactor como un sistema de primer orden inestable, de modo que el modelo predice un crecimiento exponencial de la población de un microorganismo, a partir de las conclusiones de un modelo ‘microscópico’ estadístico sobre la ‘probabilidad de división de una célula en un intervalo de tiempo pequen~o’. El resultado es un modelo ‘macroscópico’ de tipo $\frac{dx}{dt}=0.4x$ (ecuación diferencial ordinaria), con solución $x(t)=e^{0.4t}x(0)$. La base estadística es análoga a la del ‘decaimiento radiactivo exponencial’ en física, como se sugiere en el vídeo.

SI además del crecimiento ‘natural’ por división celular existe un aporte de biomasa $u$ (o extracción si el signo de $u$ fuese negativo), entonces el modelo será $\frac{dx}{dt}=0.4x+u$. Este modelo sigue siendo inestable en lazo abierto: para mantener una población constante de microorganismos deberá ser ‘estabilizado’ mediante control en bucle cerrado (no objetivo de este vídeo, que únicamente aborda modelado).

Hay que remarcar que este modelo es muy aproximado: el crecimiento de población consume nutrientes, aparecen metabolitos secundarios que a veces son tóxicos, hay mutaciones, etc. de modo que solamente es una primera aproximación a las consideraciones en este tipo de sistemas y también sirve de motivación al análisis de sistemas inestables en control industrial, dado que los sistemas usuales de circuitos eléctricos, fluidos, electromecánicos, etc. en asignaturas iniciales de automática suelen ser estables.

Por ejemplo, como inciso, los crecimientos exponenciales con tasa de crecimiento que es ella misma aleatoria , bajo ciertas asunciones adicionales, dan lugar a los modelos Black-Scholes-Merton en economía.

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