Elipsoides (4): equivalencia representaciones

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 13:47

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Resumen:

Este vídeo presenta una discusión sobre equivalencia de representaciones de elipsoides: (1) directa $x^{T}Px\le 1$, (2) inversa $x^T{Q}^{-1}x\le 1$ y (3) como transformación lineal de una esfera $x=Lu$, $u^{T}u\le 1$.

Este vídeo podría considerarse opcional si estás comenzando con todo esto, dado que discute refinamientos que podrían no ser necesarios para un primer acercamiento a estos temas.

Los temas aquí discutidos completan las ideas presentadas en el vídeo [ellip2], anterior a éste, en concreto cómo transformar la representación (3) a la representación (2) cuando $L$ no es invertible, bien por tener exceso de columnas o exceso de filas.

La parte final del vídeo discute la transformación de la representación (2) a la (3) mediante la factorización $Q=L{L}^T$ bien por método de Choleski ($L$ triangular) o mediante diagonalización ($L=V\sqrt{D}{V}^T$ simétrica a partir de la diagonalización de $Q=VD{V}^T$). Esta $L$ no es única porque queda un grado de libertad de “rotación” dado que la esfera $u^{T}u\le 1$ permanece invariante cuando es rotada, de modo que existen una infinidad de $L$ que representan a la misma esfera o elipsoide (la raíz cuadrada de una matriz no es única).

Colección completa [VER]:

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