Variedades diferenciables: ejemplos de aplicación a Mecánica (cinemática)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** ,       Relevancia: ,      Duración: 14:30

Resumen:

Este vídeo desarrolla ejemplos de representaciones implícita y paramétrica de variedades diferenciables (vídeo [vari]) aplicados a mecánica.

Los dos primeros minutos resumen rápidamente las definiciones fundamentales del vídeo [vari], y luego se pone como ejemplo de variedad diferenciable $S$ el lugar geométrico de las posiciones de un péndulo esférico (2 grados de libertad): una variedad 2-dimensional en ${ℝ}^3$.

El lugar geométrico de las velocidades admisibles para un cierto punto $p$ se denomina espacio tangente en $p$, $T_{p}S$; se obtiene mediante jacobianos de las restricciones de posición. Es calculado en el ejemplo del péndulo y también se recuerda la relación de $T_{p}S$ con la linealización de funciones de varias variables (vídeo [lint3]).

Como segundo ejemplo se pone el lugar geométrico de posiciones y velocidades de un sistema formado por dos masas puntuales unidas por una barra de masa e inercia despreciable: una variedad 5-dimensional en ${ℝ}^6$. El lugar de las velocidades es, también, 5-dimensional. El espacio de estados posición-velocidad compatible con unas restricciones de posición (en mecánica, se denominan restricciones holonómicas) es un conjunto 10-dimensional que se denomina en geometría diferencial como fibrado tangente.

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