Incertidumbre en representacin factorizada: ampliacin

Incertidumbre en representación factorizada: ampliación

Antonio Sala, UPV

Diﬁcultad: ***** , Relevancia:

, Duración: 20:21

Resumen:

En este vídeo se amplian conceptos sobre la representación factorizada $P = M^{- 1} N$ introducida en el vídeo [incf1]. En concreto, como dicha factorización no es única, se deﬁne una factorización “normalizada” donde $M$ y $N$ son estables, primos entre sí y están normalizados a 1 en la respuesta en frecuencia ( $M M^{H} + N N^{H} = I$ ).

Se presentan comandos de Matlab para calcularla, y también se introduce la reducción de orden en factorización coprima normalizada (ncfmr), que permite obtener una factorización $M_{r}$ , $N_{r}$ $P_{r} = M_{r}^{- 1} N_{r}$ de modo que los errores $Δ_{M}$ y $Δ_{N}$ sean suﬁcientemente pequeños (se basa en la reducción equilibrada de $M$ y $N$ ).

Dado que la factorización normalizada tiene respuesta 1 a todas las frecuencias, no cambia la norma inﬁnito si se multiplica una matriz de transferencia por $Q = [M N]$ , con ello se presenta una fórmula de cálculo del margen de estabilidad de un regulador $K$ que sólo depende de $P$ y de $K$ , por lo que el cálculo explícito de $M$ y $N$ normalizados no es necesario. En efecto, se demuestra que:

\begin{matrix} ∥ T ∥ = ∥ [\begin{matrix} K \\ I \end{matrix}] {(I - P K)}^{- 1} M^{- 1} ∥ = ∥ [\begin{matrix} K \\ I \end{matrix}] {(I - P K)}^{- 1} M^{- 1} (\begin{matrix} M & N \end{matrix}) ∥ \\ = ∥ [\begin{matrix} K \\ I \end{matrix}] {(I - P K)}^{- 1} (\begin{matrix} I & P \end{matrix}) ∥ : = ∥ \tilde{T} ∥ \end{matrix}

siendo $T$ la fórmula obtenida en el vídeo [incf1], pero $\tilde{T}$ tiene mucha más facilidad de ser obtenida en la práctica, y una interpretación (como se verá a continuación) también interesante. Nota: como su norma es la misma, el vídeo intercambia $T$ y $\tilde{T}$ libremente usando una única notación $T$ reﬁriéndose a una u otra según el contexto; las transparencias, no obstante, han sido corregidas para distinguirlas y evitar posibles confusiones.

El comando de Matlab que calcula dicho margen es ncfmargin.

La última idea que se presenta en el vídeo es la relación de la “incertidumbre aditiva en factorización normalizada” con el “error porcentual en denominador y numerador” y, en general, con una combinación de incertidumbres “aditiva”, “aditiva inversa”, “multiplicativa” y “multiplicativa inversa” sobre la planta no factorizada (descritas en el vídeo [incotra]): el margen ante incertidumbre coprima normalizada es un margen de robustez ante “un poco de error por todas partes” entre todas las entradas y salidas al controlador, lo cual da una interpretación “práctica” interesante a este tipo de incertidumbre: si ese margen es suﬁcientemente grande ninguna de las funciones de transferencia entre cualquier entrada o salida tendrá ningún “pico indeseable”.

Nota: El vídeo aquí resumido solamente contempla el análisis de estabilidad con un controlador prediseñado (por cualquier técnica); el controlador que optimiza ese margen de incertidumbre se discute en el vídeo [ncfsyn], pero suele dar prestaciones muy poco agresivas (en un proceso estable, lo mejor para no inestabilizar es “no tocar nada”), la (casi siempre necesaria) incorporación de pesos para mejorar prestaciones se discute en el vídeo [gmcf1].

La distancia entre dos plantas en términos de incertidumbre coprima normalizada se conoce como $ν$ -gap, que calcula Matlab en el comando gapmetric. Una discusión sobre la interpretación de esta distancia se aborda en los vídeos [gapm1] y [gapm2].

Colección completa [VER]:

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