Prestaciones robustas (teoría)

Antonio Sala, UPV

Dificultad: **** / *****  ,       Relevancia: ,      Duración: 19:59

Resumen:

– Planteamiento del problema.

– Planta generalizada $3\times 3$ con incertidumbre, conexión LFT. Escalado –Este escalado inicial no tiene nada que ver con el teorema de “pequeña ganancia escalado” que se usará luego, ver nota al pie–.

• Se supone que la planta generalizada está adecuadamente ponderada con escalados (constantes) o/y pesos en frecuencia necesarios para formar la planta generalizada $3\times 3$ de modo que el tamaño máximo de la incertidumbre $\mathrm{\Delta }$ sea 1, y que las prestaciones estén garantizadas si determinadas salidas tienen norma menor a 1 cuando las entradas exógenas (perturbaciones/referencias) tienen norma menor a 1.

Casos particulares:

• $\mathrm{\Delta }\equiv 0$, es el problema del control óptimo $H_{\infty }$ sobre el modelo en planta generalizada “nominal”.

• Cerrando el bucle con $K$ conocido, es el análisis de estabilidad por pequeña ganancia.

– Prestaciones robustas: planteamiento formal, $\parallel lft(P(\mathrm{\Delta }),K){\parallel }_{\infty }\le 1$.

– Teorema principal: si $\parallel P{\parallel }_{\infty }\le 1$, entonces $\parallel lft(P,Q){\parallel }_{\infty }\le 1$ para todo $Q$ tal que $\parallel Q{\parallel }_{\infty }\le 1$. NOTA: el vídeo [prth1EN] (en inglés) detalla en más profundidad esta idea.

– Corolario: diseño con prestaciones robustas mediante la optimización $H_{\infty }$.

– El caso anterior es conservativo. Para mejorarlo se usa el teorema de pequeña ganancia escalado que modifica la planta generalizada aprovechando la existencia de multiplicadores $S$ que verifiquen $S\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }S$, esto es, $\mathrm{\Delta }=S^{-1}S\mathrm{\Delta }=S^{-1}\mathrm{\Delta }S$, el multiplicador no es ningún “escalado/cambio de unidades” físico, sino una variable de decisión intermedia que reduce el conservadurismo.

En efecto, este “escalado” del teorema es la terminología tradicional en la literatura “teórica” para denominar a este importante resultado, pero no tiene el significado “físico” de los escalados/pesos en frecuencia para formar la planta generalizada que hemos mencionado arriba en el planteamiento del problema... quizás hubiera convenido en “ingeniería” de control denominarlo “teorema de pequeña ganancia con multiplicadores”.

– Enunciado del teorema, planteamiento de la optimización conjunta del controlador $K$ y el multiplicador $S=\sigma I$, con $\sigma \in ℝ$ (el único multiplicador admisible ante incertidumbre no estructurada).

Ejemplos de aplicación directa de las ideas aquí discutidas aparecen en el vídeo [cerp3], en los [prhrp] y [prhrp2], así como en el caso de estudio de un depósito de los vídeos [dsnl3] y [dsnl4].

También la Robust Control Toolbox de Matlab tiene código que realiza este tipo de búsqueda de multiplicadores, con el comando musyn; ejemplos de uso de este comando también están incorporados en esta colección.

English version (of the central theoretical content) at video [prth1EN].

Colección completa [VER]:

• Anterior   Control PID de un doble integrador diseñado mediante H-infinito, ejemplo Matlab: freqsep, hinfstruct

• Siguiente Robust performance: small-gain sufficient condition (h-infinity norm bound)